Azune FFT 解析

合集 - 原教旨主义鲜花(64)

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我真的服了 FFT 了，你怎么了？

我说，DFT 是求单位根处点值，也就是给你一个多项式 $f$ 满足 $\deg f=n$ 其中 $n$ 是 2 的次幂，要求所有 $f(\omega_n^k)$ .

Radix-2 FFT 打算分奇偶项讨论：

f (z) = f_{o d d} (z^{2}) + z \cdot f_{e v e n} (z^{2})

$f(z)=f_{\sf odd}(z^2)+z\cdot f_{\sf even}(z^2)$

那我直接暴力代入：

\begin{aligned} f (ω_{n}^{k}) & = f_{o d d} (ω_{n}^{2 k}) + ω_{n}^{k} \cdot f_{e v e n} (ω_{n}^{2 k}) \\ = f_{o d d} (ω_{n / 2}^{k}) + ω_{n}^{k} \cdot f_{e v e n} (ω_{n / 2}^{k}) \\ f (ω_{n}^{k + n / 2}) & = f_{o d d} (ω_{n}^{2 k + n}) + ω_{n}^{k + n / 2} \cdot f_{e v e n} (ω_{n}^{2 k + n}) \\ = f_{o d d} (ω_{n}^{2 k}) - ω_{n}^{k} \cdot f_{e v e n} (ω_{n}^{2 k}) \\ = f_{o d d} (ω_{n / 2}^{k}) - ω_{n}^{k} \cdot f_{e v e n} (ω_{n / 2}^{k}) \end{aligned}

$\begin{aligned}f(\omega_n^k)&=f_{\sf odd}(\omega_n^{2k})+\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n/2}^k)+\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_{n/2}^k)\\f(\omega_n^{k+n/2})&=f_{\sf odd}(\omega_{n}^{2k+n})+\omega_n^{k+n/2}\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k+n})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n}^{2k})-\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n/2}^k)-\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_{n/2}^k)\end{aligned}$

单位根有这么好的性质？是历史的偶然也是必然！

这样就可以分治了！恭喜达到 $\Theta(n\log n)$ .

还是看一下远方的 Bostan-Mori 吧，给 $f,g$ ，要求 $[z^k]\frac{f(z)}{g(z)}$ . 这么突然？

[z^{k}] \frac{f (z)}{g (z)} = [z^{k}] \frac{f (z) g (- z)}{g (z) g (- z)} = [z^{k}] \frac{F (z^{2}) + z \cdot G (z^{2})}{H (z^{2})}

$[z^k]\dfrac{f(z)}{g(z)}=[z^k]\dfrac{f(z)g(-z)}{g(z)g(-z)}=[z^k]\dfrac{F(z^2)+z\cdot G(z^2)}{H(z^2)}$

提取后面的东西考虑分 $k$ 的奇偶性考虑跟 $F$ 还是 $G$ 就行了 . 恭喜达到 $\Theta(\mathsf M(n)\log k)$ .

我想一下能不能整个啥 Radix-4 Bostan-Mori，不过好像自然推广就可以了！

在我还是个宝宝的时候，妈妈给了我一本 FFT 入门笔记，不过当时我并没有看懂 .

有些东西有天然的分治结构，比如二进制 . 我们先放一张 0-1 Trie 的图片：

如果把叶子节点排成一排， $0,1,\cdots,2^k-1$ 分别表示 $z^0,z^1,\cdots,z^{2^k-1}$ 项的系数？

相当于如果有些东西你能把奇偶项合并，那么从低到高建 0-1 Trie；如果你能一分为二的合并（就像线段树的结构一样），那么从高到低建 0-1 Trie .

比如你发现一张诺兹多姆是 15s，相当于你的回合是经历了 $0\text{ s}\dots (2^4-1)\text{ s}$ ，这是天然的分治结构 .

比如你发现一个二维平面总共 4 个象限，你随便选一个看起来也像二维平面，如果你在外面 bound 一下分治就可以进行了 . 你说得对这是四分树 .

唉不拿这个举例不行：

我是 A 题

今天晚上吃饭回来，看到 yspm 从斜坡上走了下来，转了一圈又走了回去。

紧接着 SoyTony 也模仿 yspm 做了这件事。这是处于模仿有趣的行为，还是将自身带入其中感受转圈的乐趣，我说不上来。

一直在思考一件事情，就是人是不是应该保持「初心」，而这个「初心」究竟指什么。

水群的时候，群友说我变了。但是，人总是在变的，而哪些需要改变，哪些需要保持，是一个值得探讨的问题。

保持「初心」，必然不是保持一成不变，而是保持自己内心的一种目标，在改变之中而不变，才是「初心」吧。

正如现在一样，OI 只是人生中的一部分，而编程的初心，是不会变的。也只有这种初心，才能支持所有人走下去。

不过，即使发生改变，再回过头去看之前的时光，也总是会有一种感慨，有一种回味在里面的。

可能，改变是必然的，而回忆也是必然的，每到一个转折点，回忆正是一种对改变的新认识。

这，又何尝不是在斜坡上转一圈呢？

我以前是在环理论那篇写的这个，span 其实就是天然的分治结构（有人喜欢叫它倍增）.

不过你也可以直接做，因为 yspm 是 2 的次幂，SoyTony 是 2 的次幂减一 .

我是 B 题

给定一个二叉树，每个点有点权，问有多少条路径的权值和等于 $w$ .

最多 1000 个点 .

诶？ $O(n^2)$ ？但是 $n$ 是什么来着……

Let Solution not be bold.

我是 C 题

单点修改，区间最小值 .

这里有一行 . Ghost Trick 也是 2 屏的，算分治嘛？

只会 $O(n\log^2n)$ .

唉，线段树，我不能要你啊！

其实线段树只要是双半群就没问题 . 但是分治呢？

我们对此进行的尝试全都失败了。

出于种种原因，我并不愿意在此处展开举例说明。

分治在 OI 中的应用还十分有限，其题目几乎都可以用数据结构 / 算法解决。

据我所知，███和██都曾经试过██来引█分治（虽然██其实只是给█████████），但都被更初等的做法解决了。

所以，希望看到这里的你，能够延续他们的步伐。

$\!$

上文中部分内容可能为虚假陈述，虚假陈述可能有两句及以上，也可能没有虚假陈述。

For without discipline and without discipline there is no law, but without natural use.

$\textsf{For without discipline and without discipline there is no law, but without natural use.}$

后记：

因为有些 neta 可能过于抽象，下面放出本文的一些线索，如果不想看的可以不看 .

folder

ref:

具体的内容就不透露了（哇哦竟然是一句双关）.

posted @ 2023-10-01 16:14 yspm 阅读(454) 评论(4) 编辑收藏举报

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