Azune FFT 解析

我真的服了 FFT 了，你怎么了？

我说，DFT 是求单位根处点值，也就是给你一个多项式 \(f\) 满足 \(\deg f=n\) 其中 \(n\) 是 2 的次幂，要求所有 \(f(\omega_n^k)\) .

Radix-2 FFT 打算分奇偶项讨论：

\[f(z)=f_{\sf odd}(z^2)+z\cdot f_{\sf even}(z^2) \]

那我直接暴力代入：

\[\begin{aligned}f(\omega_n^k)&=f_{\sf odd}(\omega_n^{2k})+\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n/2}^k)+\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_{n/2}^k)\\f(\omega_n^{k+n/2})&=f_{\sf odd}(\omega_{n}^{2k+n})+\omega_n^{k+n/2}\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k+n})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n}^{2k})-\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_n^{2k})\\&=f_{\sf odd}(\omega_{n/2}^k)-\omega_n^k\cdot f_{\sf even}(\omega_{n/2}^k)\end{aligned} \]

单位根有这么好的性质？是历史的偶然也是必然！

这样就可以分治了！恭喜达到 \(\Theta(n\log n)\) .

还是看一下远方的 Bostan-Mori 吧，给 \(f,g\)，要求 \([z^k]\frac{f(z)}{g(z)}\) . 这么突然？

\[[z^k]\dfrac{f(z)}{g(z)}=[z^k]\dfrac{f(z)g(-z)}{g(z)g(-z)}=[z^k]\dfrac{F(z^2)+z\cdot G(z^2)}{H(z^2)} \]

提取后面的东西考虑分 \(k\) 的奇偶性考虑跟 \(F\) 还是 \(G\) 就行了 . 恭喜达到 \(\Theta(\mathsf M(n)\log k)\) .

我想一下能不能整个啥 Radix-4 Bostan-Mori，不过好像自然推广就可以了！

在我还是个宝宝的时候，妈妈给了我一本 FFT 入门笔记，不过当时我并没有看懂 .

有些东西有天然的分治结构，比如二进制 . 我们先放一张 0-1 Trie 的图片：

如果把叶子节点排成一排，\(0,1,\cdots,2^k-1\) 分别表示 \(z^0,z^1,\cdots,z^{2^k-1}\) 项的系数？

相当于如果有些东西你能把奇偶项合并，那么从低到高建 0-1 Trie；如果你能一分为二的合并（就像线段树的结构一样），那么从高到低建 0-1 Trie .

比如你发现一张诺兹多姆是 15s，相当于你的回合是经历了 \(0\text{ s}\dots (2^4-1)\text{ s}\)，这是天然的分治结构 .

比如你发现一个二维平面总共 4 个象限，你随便选一个看起来也像二维平面，如果你在外面 bound 一下分治就可以进行了 . 你说得对这是四分树 .

唉不拿这个举例不行：

我是 A 题

今天晚上吃饭回来，看到 yspm 从斜坡上走了下来，转了一圈又走了回去。

紧接着 SoyTony 也模仿 yspm 做了这件事。这是处于模仿有趣的行为，还是将自身带入其中感受转圈的乐趣，我说不上来。

一直在思考一件事情，就是人是不是应该保持「初心」，而这个「初心」究竟指什么。

水群的时候，群友说我变了。但是，人总是在变的，而哪些需要改变，哪些需要保持，是一个值得探讨的问题。

保持「初心」，必然不是保持一成不变，而是保持自己内心的一种目标，在改变之中而不变，才是「初心」吧。

正如现在一样，OI 只是人生中的一部分，而编程的初心，是不会变的。也只有这种初心，才能支持所有人走下去。

不过，即使发生改变，再回过头去看之前的时光，也总是会有一种感慨，有一种回味在里面的。

可能，改变是必然的，而回忆也是必然的，每到一个转折点，回忆正是一种对改变的新认识。

这，又何尝不是在斜坡上转一圈呢？

我以前是在环理论那篇写的这个，span 其实就是天然的分治结构（有人喜欢叫它倍增）.

不过你也可以直接做，因为 yspm 是 2 的次幂，SoyTony 是 2 的次幂减一 .

我是 B 题

给定一个二叉树，每个点有点权，问有多少条路径的权值和等于 \(w\) .

最多 1000 个点 .

诶？\(O(n^2)\)？但是 \(n\) 是什么来着……

Let Solution not be bold.

我是 C 题

单点修改，区间最小值 .

这里有一行 . Ghost Trick 也是 2 屏的，算分治嘛？

只会 \(O(n\log^2n)\) .

唉，线段树，我不能要你啊！

其实线段树只要是双半群就没问题 . 但是分治呢？

我们对此进行的尝试全都失败了。

出于种种原因，我并不愿意在此处展开举例说明。

分治在 OI 中的应用还十分有限，其题目几乎都可以用数据结构 / 算法解决。

据我所知，███和██都曾经试过██来引█分治（虽然██其实只是给█████████），但都被更初等的做法解决了。

所以，希望看到这里的你，能够延续他们的步伐。

\(\!\)

上文中部分内容可能为虚假陈述，虚假陈述可能有两句及以上，也可能没有虚假陈述。

\[\textsf{For without discipline and without discipline there is no law, but without natural use.} \]

---

后记：

因为有些 neta 可能过于抽象，下面放出本文的一些线索，如果不想看的可以不看 .

folder

ref:

• https://www.luogu.com.cn/blog/SDLTF/wo-fu-liao-ba-ba
• 谢谢你，百度
• https://www.cnblogs.com/apjifengc/p/16448465.html
• https://oi-wiki.org/basic/divide-and-conquer/
• https://www.cnblogs.com/SoyTony/p/SoyTony.html
• https://www.luogu.com.cn/blog/RELY-Kaguya/diwide
• https://www.luogu.com.cn/blog/your-alpha1022/qian-tan-duo-xiang-shi-fu-ge-hu-la-ge-lang-ri-fan-yan
• https://www.zhihu.com/question/46154072
• https://www.luogu.com.cn/user/21423

具体的内容就不透露了（哇哦竟然是一句双关）.