2023.9.28 闲话

推歌：新长征路上的摇滚 - 崔健 .

看到某人写的论文《浅谈线性代数与图论的关系》，最后大概说了个这个：

矩阵的迹

对于两张图 $G_1(V_1,E_1),G_2(V_2,E_2)$，定义其 Tensor 积 $G(V,E)=G_1\times G_2$ 满足：

$$\begin{aligned}&V=\{(u,v)\mid u\in V_1,v\in V_2\}\\&E=\{((u_1,v_1),(u_2,v_2))\mid (u_1,v_1)\in E_1,(u_2,v_2)\in E_2\}\end{aligned}$$

如果按字典序排列 $(u,v)$，则对应到邻接矩阵上的关系是 Kronecker 积 $\bf A=A_1\otimes A_2$ .

其中两个矩阵 $\bf A,B$ 的 Kronecker 积定义为：

$$\bf A\otimes B=\begin{bmatrix}a_{1,1}\bf B&a_{1,2}\bf B&\cdots&a_{1,m}\bf B\\a_{2,1}\bf B&a_{2,2}\bf B&\cdots&a_{2,m}\bf B\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}\bf B&a_{n,2}\bf B&\cdots&a_{n,m}\bf B\end{bmatrix}$$

有性质 (Mixed-product)：

$$\bf(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$$

考察矩阵 $\bf A,B$ 的特征值 $\lambda_i,\mu_j$ 和特征向量 $\bm x_i,\bm y_j$，则：

$$(\mathbf A\otimes\mathbf B)(\bm x_i\otimes\bm y_j)=(\mathbf A\bm x_i)\otimes(\mathbf B\bm y_i)=(\lambda_i\bm x_i)\otimes(\mu_i\bm y_i)=\lambda_i\mu_j(\bm x_i\otimes\bm y_j)$$

论文题 (例题 5.4.1)

给若干图 $G_1,G_2,\cdots,G_k$，求 $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_k$ 中长为 $L$ 的回路数量，模 $998244353$ .

$\sum|V(G_i)|\le 500$，$L\le 10^{18}$ .

如果 $G$ 的邻接矩阵是 $\bf A$，则要求的就是 $\operatorname{trace}(\mathbf A^L)$ .

拆开之后就是要对每张图分别求 $\operatorname{trace}(\mathbf A_i^L)$ 然后乘起来，如果特征值是 $\lambda_i$，则欲求即为：

$$[z^L]\sum_i\dfrac1{1-\lambda_iz}$$

令 $f(z)$ 是特征多项式，$g(z)=f^{\sf R}(z)$ 是 $f$ 的系数翻转，则：

$$[z^L]\sum_i\dfrac1{1-\lambda_iz}=[z^{L-1}]\dfrac{g'(z)}{g(z)}$$

使用 Bostan-Mori 算法即可 $\Theta(n\log n\log L)$ .

特征多项式可以 $\Theta(n^3)$ 求得 .

好像就是把 2023.9.19 闲话的牛顿恒等式换为 Bostan-Mori，赢 .

所以有啥快速求特征多项式的方法吗？？？

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Kaguya 有一个科技，形如你要在一个区间 $[l,r]$ 找一个对 $(x,y)$ 最大化 $w_{xy}$ 的题目，可以考虑找出全局支配对 $x_0,y_0$，然后将区间划分为 $[1,y_0)$ 和 $(x_0,n]$ 两部分分治处理 .

由于某些原因，对于长度小于 $O(\log n)$ 的区间，暴力处理 .

实际跑起来是非常快的，放几个例题：

静态第六分块

给一个序列 $\{a_n\}$，每次给一个区间 $[l,r]$，求：

$$\max_{l\le x\le y\le r}\sum_{i\in[x,y]}a_i$$

每次找到全局最大子段和 $x,y$，将区间划分为 $[1,x)$ 和 $(y,n]$ 分治，小区间暴力即可 .

时间复杂度大概低于 $O(n\sqrt{n/\log n})$ 但是实际上跑得非常快，如果有人能给出精确复杂度分析可以和我洽谈 .

因为好像展开写做法都是一样的所以后面就不写题解了：

虚空第零加护

给一个序列 $\{a_n\}$，每次给一个区间 $[l,r]$，求：

$$\max_{l\le x\le y\le r}\operatorname{popcount}(a_x\oplus a_y)$$

（注：USACO23OPEN Field Day S）

三级跳

给一个序列 $\{a_n\}$，每次给一个区间 $[l,r]$，求 $(x,y,z)$ 满足：

• $l\le x<y<z\le r$ .
• $y-x\le z-y$ .
• $a_x+a_y+a_z$ 最大 .