2023.9.26 闲话

红日 - 李克勤

AH.. AH... AH
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
AH.. OH.. AH.. OH.. AH
一生之中兜兜转转
哪会看清楚
彷徨时我也试过
独坐一角 像是没协助
在某年 那幼小的我
跌倒过几多几多落泪
在雨夜滂沱
一生之中弯弯曲曲
我也要走过
从何时有你有你
伴我给我热烈地拍和
像红日之火 燃点真的我
结伴行 千山也定能踏过
让晚风 轻轻吹过
伴送着清幽花香
像是在祝福你我
让晚星 轻轻闪过
闪出你每个希冀如浪花
快要沾湿我 WOO...
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
AH HA AH HA AH.. HA..
一生之中兜兜转转
哪会看清楚
彷徨时我也试过
独坐一角 像是没协助
在某年 那幼小的我
跌倒过几多几多落泪
在雨夜滂沱
一生之中弯弯曲曲
我也要走过
从何时有你有你
伴我给我热烈地拍和
像红日之火 燃点真的我
结伴行 千山也定能踏过
让晚风 轻轻吹过
伴送着清幽花香
像是在祝福你我
让晚星 轻轻闪过
闪出你每个希冀如浪花
快要沾湿我 WOO...
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
命运就算颠沛流离
命运就算曲折离奇
命运就算恐吓着你
做人没趣味
别流泪 心酸
更不应舍弃
我愿能一生永远陪伴你
AH HA AH.. HA..
AH.. AH. HA.....

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APJifengc 科技：

计算：

\[F(n)=\sum_{i=1}^n(1*1*1)(i) \]

做法：

令

\[(f\mathop\square g)(n)=\sum_{i=1}^nf(i)g\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

则 \(f*g=h\iff f\mathop\square \sum g=\sum h\)，这是显然的，详见 2023.5.27 闲话 .

从而对于 \(F=1*1*1\)，可以得到 \(\sum F=1\mathop\square(\sum 1*1)=1\mathop\square(1\mathop\square\sum 1)=1\mathop\square(1\mathop\square\mathrm{Id})\) .

然后你把它展开会发现：

\[(1\mathop\square(1\mathop\square\mathrm{Id}))(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac ni\rfloor}\left\lfloor\frac n{ij}\right\rfloor=\sum_{ijk\le n}1 \]

关于统计 \(ijk\le n\) 的三元组 \((i,j,k)\)，只需要考虑枚举有序三元组 \(i<j<k\)，时间复杂度为：

\[\Theta\left(\int_{1}^{\sqrt[3]n}\sqrt{\dfrac ni}\right)=\Theta(n^{2/3}) \]

虽然和杜教筛复杂度一样但是它是 \(\Theta(1)\) 空间 . 来源于一个 ucup 题 .

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对于 \(\sum 1^k\) 呢？

根据类似的分析可以得到就是要算满足 \(\prod i_r\le n\) 的 \((i_1,i_2,\cdots,i_k)\) 数量 .

令时间复杂度是 \(T_k(n)\)，那么有递推（我就不写 \(\Theta\) 了，太麻烦）：

\[T_k(n)=\int_1^{\sqrt[k]n}T_{k-1}\left(\dfrac ni\right) \]

边界：\(T_1(n)=1\) .

假设 \(T_k(n)=n^{\alpha_k}\)，则可以得到递推：

\[\alpha_k=\begin{cases}0&k=1\\\alpha_{k-1}+\dfrac{1-\alpha_{k-1}}k&k>1\end{cases} \]

解得 \(\alpha_k=\frac{k-1}k\)，所以原算法的时间复杂度为 \(\Theta(n^{\frac{k-1}k})\) .