2023.9.29 闲话

APJ 让我鲜花被投我要魔怔杯了 😦

Her opinion on the disaster destroying all is delivered in a single word.

「Furry」

😭回来吧 BOBO😭
🌟我最骄傲的信仰🌟
⚡️历历在目的演讲⚡️
😭眼泪莫名在流淌😭
💥依稀记得模拟赛💥
👍还有给力的学长👍
⚡️把贡品都给打退⚡️
✨通宵熬夜都不累✨

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证明：

$$\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}k\binom{n}{k}=H_n$$

（具体数学 6.72）

纯净做法

注意到：

$$\frac{1}{k}\binom{n}{k}=\frac{1}{k}\left(\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\right) =\frac{1}{k}\binom{n-1}{k}+\frac{1}{n}\binom{n}{k}$$

令 $\displaystyle F(n)=\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}k\binom{n}{k}$，那么可以展开：

$$\begin{aligned}F(n)&=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k+1}}k\dbinom nk+\dfrac{(-1)^{n+1}}n\\&=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k+1}}k\dbinom{n-1}k+\dfrac1n\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dbinom nk+\dfrac{(-1)^{n+1}}n\\&=F(n-1)+\dfrac1n\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dbinom nk\\&=F(n-1)+\dfrac1n\end{aligned}$$

从而 $F(n)=H_n$ .

你先别急

左边的 OGF 有平凡的刻画：

$$F(z)=\int\dfrac{1-(1-z)^n}z\mathrm dz$$

所以：

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\int_0^1\dfrac{1-(1-z)^n}z\mathrm dz\\&=\int_0^1(1-(1-z)^n)\mathrm d(\ln z)\\&=-n\int_0^1\ln z(1-z)^{n-1}\mathrm dz\\&=-n\int_0^1z^{n-1}\ln(1-z)\mathrm dz\\&=n\int_0^1z^{n-1}\sum_{k\ge1}\dfrac{z^k}k\mathrm dz\\&=\sum_{k\ge1}\dfrac nk\int_0^1z^{n+k+1}\mathrm dz\\&=\sum_{k\ge1}\dfrac n{k(n+k)}\\&=H_n=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$

And, The Deliverance of Light.