2023.9.21 闲话

推歌：东方红 - 李有源 vs. 李涣之 .

要不你就当今天是 9 月 21 日吧，记得看完后把时间调回去 .

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答案错误 (Remix)

对于多项式 \(\displaystyle f(z)=\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\)，将 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 划分为两个不交集合 \(S_1,S_2\)，使得对于任意 \(\{a\}\)，都有：

\[\sum_{x\in S_1}f(x)=\sum_{x\in S_2}f(x) \]

给出一种构造，并求出构造方案数 .

构造是广为人知的（Thue–Morse Sequence）：按 popcount 奇偶性分组 .

关于唯一性，考察如下关于 \(c\) 的线性方程组：

\[\sum_{i=1}^nc_i\cdot i^k=0 \]

可以直接写成 \(A\bm x=\bm 0\) 的形式 .

需要证明：\(\bm x\) 中只含 \(1,-1\) 的解是唯一的 . 因为 \(A\) 可逆（具体考察 Vandermonde 行列式），所以通解是 \(\bm x=c\bm v\) 的形式，\(\bm v\) 是常量，所以显然唯一 .

Even if you just leave them be, they will fall to pieces all by themselves. So, someone has to protect them, right?