2023.9.20 闲话

推歌：Abstruse Dilemma - Ashrount vs. 打打だいず .

\(x\) 是常数，想要对一些函数 \(f\) 求：

\[\sum_{i=1}^nf(i)[i\perp x] \]

令 \(e(n)=[n\perp x]\)，那么可以知道 \((f\cdot e)*e=(f*1)\cdot e\)，具体证明代入即可：

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{d\mid n}f(d)[d\perp x][n/d\perp x]\\&=[n\perp x]\sum_{d\mid n}f(d)\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned} \]

所以根据杜教筛相关内容可以随便给 \(f\) 卷 \(1\) 或者 \(\mu\) .

底层问题，计算 \(e\) 的前缀和：

\[\sum_{i=1}^n[i\perp x] \]

因为容易在 \(O(n^{2/3})\) 内处理块筛的 .

所以解决了问题：求 \(1^k\cdot e\) 的块筛，\(k\) 可以是负数，乘法是 Dirichlet 卷积 .

对于 \(f\) 是其他积性函数的情况如果有想法可以和我交流一下 .

我不知道这个和 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nf(ix)\) 问题有什么关系，不过有可能有关系，可能需要讨论怎么拆 \(1^k(ab)\) .