2023.9.20 闲话

推歌：Abstruse Dilemma - Ashrount vs. 打打だいず .

$x$ 是常数，想要对一些函数 $f$ 求：

$$\sum_{i=1}^nf(i)[i\perp x]$$

令 $e(n)=[n\perp x]$，那么可以知道 $(f\cdot e)*e=(f*1)\cdot e$，具体证明代入即可：

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{d\mid n}f(d)[d\perp x][n/d\perp x]\\&=[n\perp x]\sum_{d\mid n}f(d)\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$

所以根据杜教筛相关内容可以随便给 $f$ 卷 $1$ 或者 $\mu$ .

底层问题，计算 $e$ 的前缀和：

$$\sum_{i=1}^n[i\perp x]$$

因为容易在 $O(n^{2/3})$ 内处理块筛的 .

所以解决了问题：求 $1^k\cdot e$ 的块筛，$k$ 可以是负数，乘法是 Dirichlet 卷积 .

对于 $f$ 是其他积性函数的情况如果有想法可以和我交流一下 .

我不知道这个和 $\displaystyle\sum_{i=1}^nf(ix)$ 问题有什么关系，不过有可能有关系，可能需要讨论怎么拆 $1^k(ab)$ .