2023.9.19 闲话

环路

给一个单位有向图，求长度小于 $k$ 的所有环长度之和，对 $m$ 取模 .

（经过一些过程我发现模合数的特征多项式也是可求的）

我觉得公开这个题的题面应该没有什么问题 .

根据一些经典的讨论，我们要求的无非就是：

$$\operatorname{trace}\left(\sum_{i=1}^{k-1}A^i\right)$$

其中 $A$ 是图的邻接矩阵 .

进行一些基础的推导：

$$\begin{aligned}\operatorname{trace}\left(\sum_{i=1}^{k-1}A^i\right)&=\sum_{i=1}^{k-1}\operatorname{trace}(A^i)\\&=\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{j=1}^n\lambda_j^i\end{aligned}$$

其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征根 .

那么求出 $A$ 的特征多项式 $f(z)$ 之后问题变为对于每个 $k$ 求 $f(z)$ 的每个根的 $k$ 次方和 .

这里使用牛顿恒等式：

对于多项式 $f(z)=\sum\limits_{i=0}^na_iz^i$，记 $p_k$ 为其所有根的 $k$ 次方和，则 $\{p\}$ 满足线性递推：

$$\sum_{i=0}^{\min\{n,k\}}a_{n-i}p_{k-i}=0$$

证明不难，此处不表 . 那么直接模拟即可求出所有 $p$，进而可以完成全部任务 .

总结一下，时间复杂度为 $\Theta(n^3)$，相对于传统算法的优势在于没有 $\log k$ . 瓶颈在于求特征多项式 .

以下是闲话，倒装闲话？

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推歌：The Nights - Avicii .

K8He 语录

K8He：SoyTony 你也不行↑啊

K8He：（我也没打啊）sb

K8He：我是 int_R 学长~
K8He：int_R 见我都得喊我一声学长。

整了半天想要不用整除做回文的 Polyglot (C & Python 3) 代码，结果还是没成，不过还是比较有意思的：

#define print(a) main(){puts(a);} // jpa gninraw#
#define is void func() // jpa gninraw#
#define type(x) {} // jpa gninraw#
#warning apj # )1 //
print("Hello, world!") is type(1#) // jpa gninraw#
#warning apj // )#1(epyt si )"!dlrow ,olleH"(tnirp
// 1) # jpa gninraw#
#warning apj // }{ )x(epyt enifed#
#warning apj // )(cnuf diov si enifed#
#warning apj // };)a(stup{)(niam )a(tnirp enifed#

#define print(a) main(){puts(a);} // jpa gninraw#
#define is void func() // jpa gninraw#
#define type(x) {} // jpa gninraw#
#warning apj # )1 //
print("Hello, world!") is type(1#) // jpa gninraw#
#warning apj // )#1(epyt si )"!dlrow ,olleH"(tnirp
// 1) # jpa gninraw#
#warning apj // }{ )x(epyt enifed#
#warning apj // )(cnuf diov si enifed#
#warning apj // };)a(stup{)(niam )a(tnirp enifed#

甚至让我感觉 C / C++ & LaTeX 的 Polyglot 有成功的可能。。

发现 2023.6.14 闲话有熟知的证法：

$$\sum_{d\mid n}\dfrac{\mu(d)}d=\dfrac1n\sum_{d\mid n}\mu(d)\cdot\dfrac nd=\dfrac{\varphi(n)}n$$

反演上式即可 .