2023.9.23 闲话
金银花露
以上是 H1 测试。
int_R 那个梦的 idea 感觉还挺趣味的。
CSP 初赛终于过了,很好。
推歌:ずんだパーリナイ - なみぐる feat. ずんだもん .
又看了一眼某个题,Abel 变换还是很强的 .
求:
其中 \(\operatorname{ctz}(i)\) 是 \(i\) 二进制中末尾 0 的数量 .
被 APJ 直接秒了,呃呃 .
Solution
直接做是没有什么前途的,最好是先拆位:
这就是自然数幂和了,直接处理即可 .
大概是 \(\Theta(k\log k+\log n\log^2\log n)\) 的 .
一些想法
令 \(S_k(n)\) 是答案,那么有递推:
令 \(S_r(n)\) 的 OGF 为 \(\displaystyle F_r(z)=\sum_{k\ge 0}S_r(k)\cdot z^k\),那么可以刻画:
其中 \(\displaystyle G(z)=\sum_{k\ge 0}k(k-\operatorname{popcount}(k))z^k\) .
展开就是:
如上未知函数都可以由 \(\displaystyle P(z)=\sum_{k\ge 0}\operatorname{popcount}(k)z^k\) 表示,而 \(P\) 有表达:\(P(z)=P(z^2)+\frac{z}{1-z^2}\),或许可以和 Bostan-Mori 算法同步进行以远处求值(大概率不能,胡的,没细想),不过肯定跑得没有前一个算法快 .
APJ 太强了 .
可以看一些别的,比如 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\operatorname{ctz}(i)^k\) 以及相关内容,做法应该差不多 .
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