2023.9.17 闲话

Song：一番の宝物 .

啊，明年的初赛还会出三叉树题嘛？

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上课讲那个仅含 sin, cos 的有理分式除 cos 变成 tan 那个 trick，不过能乘 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\) 直升两次以前都没见过 .

SoyTony 的神力 III

SoyTony 要做 Fkbonacci 特色高等数学。对于常数 \(a,b\)，Fkbonacci 数列如下定义：

\[f_n=\begin{cases}n&n\le 1\\a\cdot f_{n-1}+b\cdot f_{n-2}&n>1\end{cases} \]

令 \(r(n)=\dfrac{f_n}{f_{n-1}}\)，导出：

\[q(n)=\dfrac{(-1)^n}{f_{2n-1}} \]

关于 \(r(n),a,b,b^n\) 的表达式（结果期望是一个有理分式） .

可能我脑洞比较奇怪 . 不过神力竟然出三了，有生之年系列 .

\[q(n)=\dfrac{f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2}{b^{n-1}(b+1)f_nf_{n-1}} \]

（分子用 2023.6.9 闲话、分母用 2023.1.27 闲话）

然后你应该会了，展开 \(f_{n+1}\)，那么上下齐次，除以 \(f_{n-1}^2\) 即可 .

还是放一行字免得第一屏就到底了：

\[q(n)=\dfrac{af_{n-1}^2+bf_{n-1}f_n-f_n^2}{b^{n-1}(b+1)f_nf_{n-1}}=\dfrac{a+b\cdot r(n)-r(n)^2}{b^{n-1}(b+1)r(n)} \]

想要有对题目的正面评价……

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