2023.9.16 闲话

推：おどロボ - 海茶 feat. 琴葉茜・葵 & ずんだもん .

初赛说不定就过不了了 . 不过来了一些小学生，可能比较治愈 .

唉，数论只配出现在初赛中 .

Junior

比较 $\sigma_2(n^2)$ 和 $\sigma_2(n)^2$ .

$(\sum a)^2\ge\sum a^2$ .

Senior

对于 $\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$，定义 $\displaystyle f(n)=\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}$

比较 $\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)$ 和 $\displaystyle\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$ .

$$f(n)=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{\alpha_i}p_i^j=\sigma_1(n)$$

我感觉我几年前就出过这题来着 .

然后显然有 $\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$，有几种证明方法 .