2023.9.16 闲话

推：おどロボ - 海茶 feat. 琴葉茜・葵 & ずんだもん .

初赛说不定就过不了了 . 不过来了一些小学生，可能比较治愈 .

唉，数论只配出现在初赛中 .

Junior

比较 \(\sigma_2(n^2)\) 和 \(\sigma_2(n)^2\) .

\((\sum a)^2\ge\sum a^2\) .

Senior

对于 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}\)，定义 \(\displaystyle f(n)=\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}\)

比较 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)\) 和 \(\displaystyle\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\) .

\[f(n)=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{\alpha_i}p_i^j=\sigma_1(n) \]

我感觉我几年前就出过这题来着 .

然后显然有 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\)，有几种证明方法 .