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【占位】

推歌：关于打舞萌的哥们被魅魔骗了200个币这件事 - 理P feat. 赤羽 & 艾可 .

怎么感觉和 the EmpErroR 有点像 .

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初赛加训 .

积性函数：\(a\perp b\implies f(a)f(b)=f(ab)\) .

Dirichlet 卷积：

\[(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\dfrac nd\right) \]

Dirichlet 生成函数：

\[F(z)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{f_k}{k^z} \]

积性函数对于 Dirichlet 卷积构成 Abel 群 .

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长度为 \(n\) Dirichlet 卷积的时间复杂度记作 \(\mathsf M_{\cal D}(n)\)，类似的，定义长度为 \(n\) Dirichlet 半在线卷积和在线卷积的时间复杂度为 \(\mathsf S_{\cal D}(n),\mathsf R_{\cal D}(n)\)，整除 Dirichlet 卷积、半在线卷积和在线卷积（定义见后）的时间复杂度为 \(\mathsf M_{\cal F}(n),\mathsf S_{\cal F}(n),\mathsf R_{\cal F}(n)\) .

经典结论：在线卷积和半在线卷积一样难，所以 \(\mathsf S_{\cal D}(n)=\Theta(\mathsf R_{\cal D}(n)),\mathsf S_{\cal F}(n)=\Theta(\mathsf R_{\cal F}(n))\) .

积性函数 Dirichlet 卷积的快速计算：qwaszx \(\Theta(n\log\log n)\) .

定义：

\[(f\mathop\square g)(n)=\sum_{i=1}^nf(i)g\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

则有 \(f*g=h\iff f\mathop\square \sum g=\sum h\)，证明详见 2023.5.27 闲话 .

后称「整除 Dirichlet 卷积」. 根据上式可得 \(\mathsf M_{\cal D}(n)=\Theta(\mathsf M_{\cal F}(n))\) .

关于在线、非在线 Dirichlet 卷积？沿用以前的经验，分治做……\(\Theta(\mathsf M_{\cal D/\cal F}(n)\log n)\)，恭喜你还没调和级数快 .

整除版非在线 Dirichlet 卷积：

\[f(n)=c(n)\sum_{i=2}^ng(i)f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

我们已经会一种了（2023.9.10 闲话）：

\[f(n)=c(n)-\sum_{i=2}^ng(i)\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

那么上面那个版本其实相当于就是：

\[\sum_{i=1}^ng(i)f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)=C(n)\cdot f(n) \]

反演（我真的不想再放一遍链接了）之，即可变为熟知的形式（我希望这一段没有问题）.

从而 \(\mathsf S_{\cal F}(n)=\Theta(\mathsf M_{\cal F}(n))\)，前缀和-差分即得 \(\mathsf S_{\cal D}(n)=\Theta(\mathsf S_{\cal F}(n))=\Theta(\mathsf S_{\cal D}(n))\) .

那么都大一统了 . 来看一些东西 .

Dirichlet k 次根

给一个（积性 / 数论）函数 \(f\) 和整数 \(k\)，求满足 \(g^k=f\) 的 \(g\)，乘法为 Dirichlet 卷积 .

保证 \(f(1)=1\) . 对某个素数取模 .

根据一些经验我们要实现的无非就是 ln 和 exp .

牛顿迭代没有什么前途，因为起手就是一个 log，所以考察半在线卷积 .

半在线卷积的形式我就不再写了，想必已经熟知，问题在于怎么求导，因为出来自然带一个 \(\ln\)，这里用素因子个数函数 \(\omega\) 替换即可 .

时间复杂度 \(\Theta(\mathsf S_{\mathcal D}(n))\) .

求逆也一样做应该 .

如果有问题烦请指正 .