2023.9.13 闲话

给若干个字符串 $\{S_n\}$，问长度最短的包含所有字符串的字符串最短是多少？

推歌：Bravely You .

今天看到学生还原神舟飞船发射的视频，我意识到当代青年人的使命感觉醒了。“虚争空言，不如思而试之”，先贤的遗训似乎仍在耳畔回响。就让新一代来擘画质量非凡的新世界吧！

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欲证：对于任意正整数 $n$ 存在 Fibonacci 数 $m$ 使得 $n$ 是 $m$ 十进制表示下的子串 .

假设 $F_m$ 的一个前缀是 $n$，那么：

$$\begin{aligned}&F_m\in[10^r\cdot c,10^r\cdot(c+10^{-\alpha}))\\\iff&\lg F_m\in[\lg m+c,\lg(m+10^{-r})+c)\\\iff&n\lg\phi-\tfrac{\lg5}2\in[\lg m+c,\lg(m+10^{-r})+c)\\\iff&\{n\lg\phi-\tfrac{\lg5}2\}\in[\lg m,\lg(m+10^{-\alpha}))\end{aligned}$$

其中 $\{x\}$ 是 $x$ 的小数部分 .

那么根据无理数的性质，后续过程就比较显然了 . 证明完毕 .

可以扩展到其他进制 .