2023.9.11 闲话

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南天门内的未来

定义一个序列 \(\{a\}\) 的分差 \(\{d\}\) 为：

• \(d_1=a_1\) .
• 对于整数 \(i>1\)，\(d_i=d_i-d_{i-1}\) .

给一个序列 \(\{a\}\) 的前 \(n\) 项，求其 \(k\) 阶分差的前 \(n\) 项模 \(998244353\) 的值 .

Hint：每次操作相当于 OGF 卷 \(\dfrac1{1+z}\)，对于 0-indexed 序列来说 .

下文可能下标从 0 或者从 1 开始比较混乱，希望你能读懂 .

南天门内的未来 II

对于整数 \(q>1\)，定义一个序列 \(\{a\}\) 的 \(q\)-分差 \(\{d\}\) 为：

\[d_n=\sum_{\substack{1\le k<i-1\cr k\mid q}}(a_{i-k}-a_{i-k-1}) \]

给一个序列 \(\{a\}\) 的前 \(n\) 项，求其 \(k\) 阶 \(q\)-分差的前 \(n\) 项模 \(998244353\) 的值 .

（\(q=2\) 即为上一题）

考虑刻画其复合逆，相当于 \(\displaystyle d'_n=\sum_{i=0}^{q-1}a_{n-i}\) .

翻译为 OGF 就是：

\[F(z)=(1+z+\cdots+z^{q-1})A(z)=\dfrac{1-z^{q-1}}{1-z}A(z) \]

想要求其复合逆的一项，用另类拉反：

\[[z^n]F^{\langle -1\rangle}(z)=[z^n]z^k\cdot F'(z)\cdot\left(\dfrac z{F(z)}\right)^{n+1} \]

类似积木那个题，右边应该是 D-finite 的，从而用某些著名方法（i.e. ODE 自动机）应该就可以线性了 .

可能比较经典，不过我做题比较少，这个可能是我第一次用拉反，权当个人练习 .

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