2023.9.10 闲话
推歌:
- リアライズ - 柊マグネタイト feat. 初音ミク .
- Summoning 101 - Mili .
我感觉杜教筛型递推大体已经被解明了:
\[f(n)=a_n-\sum_{i=2}^nz(i)\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)
\]
等价于:
\[\sum_{i=1}^nz(i)\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)=a_n\text{ where }z(1)=1
\]
那么反演即得:
\[f(n)=\sum_{i=1}^nz^{-1}(i)a_{\lfloor\frac ni\rfloor}
\]
这里 \(z^{-1}\) 是 \(z\) 的 Dirichlet 卷积逆,差分后 Dirichlet 前缀和,\(\Theta(n^{2/3}\log\log n)\) .
这种平衡思想可能也比较被人熟知 . 总之,一些题目:
- LOJ #6627 等比数列三角形 .
- 洛谷 P5218 无聊的水题 II .
- 洛谷 P9511 大豆 .
- CF1801F Another n-dimensional chocolate bar .
- NOI2016 循环之美 .
- LOJ #6222 幂数 !(加强版) .
顺序随机排列 .
不过差分后应该可以成为块筛卷积形式,有很多方法是比杜教筛快的 .
关于别的形式的整除分块能不能反演,有广义反演定理:
广义反演定理
对于数论函数 \(\alpha*\beta=1\) 和完全积性函数 \(z\),和两个在 \(\R_{\ge 1}\) 上有定义的函数 \(F,G\),有:
\[G(n)=\sum_{i=1}^{\lfloor n\rfloor}z(i)\alpha(i)F\left(\dfrac ni\right)\iff F(n)=\sum_{i=1}^{\lfloor n\rfloor}z(i)\beta(i)G\left(\dfrac ni\right) \]
可以参考 .
不过相对来说 min25 筛型递推应当更实用一点吧,不过我还不怎么会 min25 筛,如果有机会的话我还是很希望了解的 .
刚学整除的 MO 舍友的题:对于奇数 \(k\),证明 \(1^k+2^k+\cdots+n^k\) 不被 \(n+2\) 整除 .
可以看看,并不是很难 .
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