2023.9.8 闲话

推歌：恋の魔法ポーション - HoneyWorks feat. 洛天依 .

He

S1：（你对 yspm 有感觉）很 有 感 觉（铿锵）

S2：你唱这歌，我也不能保佑你了。

S3：为啥我这 P 这么大，哦好像 P 本来就应该这么大。

书接上文让我们来看一下 9.4 闲话（icyM3tra）文末的那个问题 .

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\min\{\lfloor\tfrac ni\rfloor,\lfloor\tfrac mj\rfloor\}[i\perp j]=nm \]

不妨令 \(n\le m\) .

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\min\{\lfloor\tfrac ni\rfloor,\lfloor\tfrac mj\rfloor\}\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\min\{\lfloor\tfrac n{id}\rfloor,\lfloor\tfrac m{jd}\rfloor\}\end{aligned} \]

那么就是：

\[\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\min\{\lfloor\tfrac n{id}\rfloor,\lfloor\tfrac m{jd}\rfloor\}=nm \]

\(d\) 的上界是无关紧要的，所以也可以反演，不过这里是二元版本，那么就变成：

\[\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\left\lfloor\frac mi\right\rfloor=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\min\{\lfloor\tfrac ni\rfloor,\lfloor\tfrac mj\rfloor\} \]

差分：

\[\begin{aligned}\Delta\mathrm{LHS}&=\sum_{i=1}^n\left(\left\lfloor\frac {n+1}i\right\rfloor\left\lfloor\frac mi\right\rfloor-\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\left\lfloor\frac mi\right\rfloor\right)\\&=\sum_{i\mid n}\left\lfloor\dfrac mi\right\rfloor\\\Delta\mathrm{RHS}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(\min\{\lfloor\tfrac{n+1}i\rfloor,\lfloor\tfrac mj\rfloor\}-\min\{\lfloor\tfrac ni\rfloor,\lfloor\tfrac mj\rfloor\})\\&=\sum_{i\mid n}\#\{j\mid\lfloor\tfrac mj\rfloor\ge\lfloor\tfrac ni\rfloor\}\\&=\sum_{i\mid n}\left\lfloor\dfrac{mi}n\right\rfloor\end{aligned} \]

对于 \(i\mid n\) 来说 \(\dfrac 1i\) 和 \(\dfrac in\) 的取值范围是一样的，从而命题获证 .

我怎么感觉比莫反可能会失败差不多难呢？甚至更难了一点啊！不过做法是类似的 .

Oh, the hidden face behind of blurry screen.

考虑计算下式：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(\gcd(i,j)) \]

猜猜能做到多快！不过好像很难让它变得比根号还快 . 这算「莫反可能会失败」嘛？