多项式 EXP 之三

推歌：Summer Fireworks of Love - karatoPαnchii feat. はるの .

仔细想想好像我比较喜欢的歌要么比较安静要么是核（？

K8He：SoyTony 你也不行↑啊

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欲证明：

$$[z^n](\exp F)(z)=\sum_{\sum ic_i=n}\dfrac1{(\sum c_i)!}\prod_if_i^{c_i}$$

其实直接做就行了：

$$\begin{aligned}(\exp F)(z)&=\exp\sum_{n\ge 0}f_iz^i\\&=\prod_{n\ge 0}\exp f_iz^i\\&=\prod_{n\ge 0}\sum_{t\ge 0}\dfrac1{t!}f_i^tz^{nt}\\ [z^n](\exp F)(z)&=\sum_{\sum ic_i=n}\dfrac1{(\sum c_i)!}\prod_if_ic^i\end{aligned}$$

或者一些别的方向：

$$\begin{aligned}(\exp F)(z)&=\sum_{t\ge 0}\dfrac{F(z)^t}{t!}\\&=\sum_{t\ge 0}\dfrac1{t!}\left(\sum_{n\ge 0}f_nz^n\right)^t\\&=\sum_{t\ge 0}\dfrac1{t!}\sum_{\sum c_i=t}\dbinom t{c_1,c_2,\cdots,c_k}z^{\sum ic_i}\prod_if_ic^i\\&=\sum_{n\ge 0}z^n\sum_{\sum ic_i=n}\dfrac1{(\sum c_i)!}\prod_if_ic^i\end{aligned}$$

注：第三个等号处枚举每个 $i$ 被选择的次数 .

其实怎么做都是非常简易，唉有点无聊了，推荐大家看看 CF1338D，很好玩的 .

The bpm of next part is...