2023.9.5 闲话

推歌：アポカリプスなう - ピノキオピー feat. 初音ミク .

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac1{ij}[i+j>n][i\perp j]=1 \]

莫反可能会失败 .

Lemma

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac1{ij}[i+j>n]=H_n^{(2)} \]

证明，此处不表 .

回到原题，先进行一些推导：

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}\dfrac1{ij}[i+j>n]\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\dfrac1{ijd^2}[i+j>\lfloor\tfrac nd\rfloor]\\&=\sum_{d=1}^n\dfrac{\mu(d)}{d^2}H_{\lfloor\frac nd\rfloor}^{(2)}\end{aligned} \]

转为证明：

\[\sum_{d=1}^n\dfrac{\mu(d)}{d^2}H_{\lfloor\frac nd\rfloor}^{(2)}=1 \]

反演之：

\[\sum_{d=1}^nf^{-1}(d)=H_n^{(2)}\qquad\text{where }f(n)=\frac{\mu(n)}{n^2} \]

其中 \(f^{-1}\) 是 \(f\) 的 Dirichlet 卷积逆 .

积性函数考察 DGF：

\[F(z)=\prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\dfrac1{p^{z+2}}\right) \]

显然可得其逆：

\[F'(z)=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac1{1-p^{-z-2}} \]

类似 \(\zeta\) 的分析可以得到 \(f^{-1}(n)=\dfrac1{n^2}\)，代入即为 \(H^{(2)}\) 的定义 .

证毕 . 莫反一定会成功 .