2023.9.2 闲话

推歌：少女レイ - みきとP feat. 初音ミク.

有个东方曲：テディベア - けいらん feat. 可不，算是回应一下我的另一条评论 .

通过查看 Alpha1022 的浅谈多项式复合和拉格朗日反演我感觉广义二项级数的幂那个应该有更简单一点的推法 .

欲证明：

\[\frac{\mathcal{B}_t(z)^r}{ 1 - t + t\mathcal{B}_t(z)^{-1}} = \sum_{n \ge 0} \binom{tn + r}{n}z^n \]

首先写成复合的形式，\(F(z)=\mathcal B_t(z)-1\)，\(H(z) = \dfrac{(1 + z)^r}{1 - t + t(1 + z)^{-1}}\)，那么原式左边就是 \(H(F(z))\) . 这里 \(F(z)\) 的复合逆是 \(G(z)=\dfrac z{(1+z)^t}\) .

然后用另类拉格朗日反演：

\[\begin{aligned}[z^n]H(F(z))&=[z^n]\dfrac{(1+z)^{r+1}}{1-z}\left(\dfrac z{(1-z)^t}\right)'(1+z)^{t(n+1)}\\&=[z^n](1+z)^{tn+r}\\&=\dbinom{tn+r}n\end{aligned} \]

隔壁 joke3579 用拉格朗日反演推了一页多才得到结果，另类拉格朗日反演确实在一些问题上比较有效 .

为什么我这个主题我要加载半天才能出来 \(\rm\LaTeX\) .