正直者之死

上面这张可能算是「头图」了，不过我不太知道「头图」是不是一个正常的词 .

对于一个真正的标题出现的时候，日期的指示只能相当不明确地显示在页面底部 .

我也没有设置 URL Slug 的习惯，果然我的闲话不能拥有标题吧？

image.png

我们知道勒让得公式：

$$v_p(n!)=\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac n{p^k}\right\rfloor$$

如果你不知道 $v_p$ 是什么，可以跳过后面的内容了 . 话说我以前是不是都要解释一下的 .

推广之：

$$v_p\left(\prod_{i=1}^n(ai-b)\right)=\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac n{p^k}+\dfrac ba\right\rfloor\qquad\text{where }b<a$$

闭上眼睛，倒数三位 (bit)，说不定解答就自然浮现了？

$$v_p\left(\prod_{i=1}^n(ai-b)\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{v_p(ai-b)}1=\sum_{k\ge 1}\sum_{t=1}^{\lfloor\frac n{p^k}+\frac ba\rfloor}1=\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac n{p^k}+\dfrac ba\right\rfloor$$

上面的过程确实是对的，不过如果你完全以波特的心态看上下的逻辑的话说不定就是不对的了 . 可能还是倒数三位靠谱一点 .

直觉上来看换成 $\prod f(i)$ 过程依然成立，不过结论好像有点无意义 .

结论来自 IMO2014 Shortlist N8，有兴趣可以把完整的解答看一下 .

如果你是跳到这里来的，$v_p(n)$ 是 $n$ 中 $p$ 因子的个数，也就是最大的 $k$ 满足 $p^k\mid n$ .

（如果设置一个读到上面这段话就跳回去的指令的话不好讨论，如果你是波特注意不要尝试前面那个指令）

推歌：ちっちゃな私 - マサラダ feat. 重音テト .

最前面那个加粗可能是看某篇 SCP 文档（joke 推的一个和 MCD 相关的）影响比较深刻 .