2023.8.26 闲话

有时候我想给我的闲话加一个标题位 .

营业日志 2020.7.4 新瓶旧酒

对于序列 \(\{a_n\}\)，计算：

\[b_i=\sum_j\dbinom{2i-j}{i-j}a_j \]

唉，EI！

先两边同时变成 OGF：

\[\sum_{n\ge 0}b_nz^n=\sum_{k\ge 0}a_k\sum_{n\ge 0}\dbinom{2n-k}{n-k}z^n \]

那么好像只需要计算 \(\displaystyle\sum_{n\ge 0}\dbinom{2n-k}{n-k}z^n\)，如果你比较熟练可能可以看出来这个是 \(\dfrac{C(z)^{-k}}{\sqrt{1-4z}}\)，其中 \(C(z)\) 是 Catalan 数的 OGF . 化简一下可以得到和 EI 一样的结果 .

事实上是并不困难的，广义二项级数：

\[\frac{\mathcal{B}_t(z)^r}{ 1 - t + t\mathcal{B}_t(z)^{-1}} = \sum_{n\ge 0} \binom{tn + r}{n}z^n \]

考察 \(t=2,\,r=-k\) 即得 .

复合回去就是：

\[B(z)=\dfrac1{\sqrt{1-4z}}A\left(\dfrac{1-\sqrt{1-4z}}2\right) \]

其中 \(A,B\) 分别是 \(a,b\) 的 OGF .

后面的部分就是对 \(A\) 复合了，可以分成 \(\frac{1-t}2\) 和 \(\sqrt{1-4z}\) 分别做，这样就 \(O(n\log n)\) 了 .

其实就是昨天闲话的格式，EI 做法大致对应做法 2 .

新瓶旧酒！

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