2023.8.26 闲话

有时候我想给我的闲话加一个标题位 .

营业日志 2020.7.4 新瓶旧酒

对于序列 $\{a_n\}$，计算：

$$b_i=\sum_j\dbinom{2i-j}{i-j}a_j$$

唉，EI！

先两边同时变成 OGF：

$$\sum_{n\ge 0}b_nz^n=\sum_{k\ge 0}a_k\sum_{n\ge 0}\dbinom{2n-k}{n-k}z^n$$

那么好像只需要计算 $\displaystyle\sum_{n\ge 0}\dbinom{2n-k}{n-k}z^n$，如果你比较熟练可能可以看出来这个是 $\dfrac{C(z)^{-k}}{\sqrt{1-4z}}$，其中 $C(z)$ 是 Catalan 数的 OGF . 化简一下可以得到和 EI 一样的结果 .

事实上是并不困难的，广义二项级数：

$$\frac{\mathcal{B}_t(z)^r}{ 1 - t + t\mathcal{B}_t(z)^{-1}} = \sum_{n\ge 0} \binom{tn + r}{n}z^n$$

考察 $t=2,\,r=-k$ 即得 .

复合回去就是：

$$B(z)=\dfrac1{\sqrt{1-4z}}A\left(\dfrac{1-\sqrt{1-4z}}2\right)$$

其中 $A,B$ 分别是 $a,b$ 的 OGF .

后面的部分就是对 $A$ 复合了，可以分成 $\frac{1-t}2$ 和 $\sqrt{1-4z}$ 分别做，这样就 $O(n\log n)$ 了 .

其实就是昨天闲话的格式，EI 做法大致对应做法 2 .

新瓶旧酒！

u 20.04 0:-* 5d0h 0.64 12x3.7GHz 15.5G20% 49G42% 2023-08-26 11:10:00