2023.8.27 闲话

给两个正整数 $n,v$，随机生成长度为 $n$ 的处于 $[1,v]\cap\Z$ 内的元素不重的序列 .

怎么做呢？哦哦首先拒绝采样我们是非常会的，每次不断随机直到和以前都不同，这样不难证明是均匀随机 . 那么算一下复杂度吧，期望是概率的倒数，那么每次选一下成功的概率就是 $p=\frac{v-n+1}v$，所以期望次数就是 $O(\frac 1p)=O(\frac {v}{v-n+1})$ .

令 $k=\frac{v}{n-1}$，那么复杂度可以改成 $O(\frac k{k-1})$，选 $n$ 次就是 $O(\frac{nk}{k-1})$ .

这个算法的问题在于如果 $k$ 非常小的话（$n=v$）这个就成 $O(n^2)$ 这种量级了，还是不太能接受的 .

考虑对于 $k$ 比较小的情况有没有什么好做法，注意到最朴素的想法就是给整个值域 shuffle 出来暴力取前 $n$ 个，这样就是 $O(v+n)$ 的了，那么想一下怎么平衡 .

直接解 $v+n=kn\le \frac{nk}{k-1}$ 可以得到的是 $0<k\le 2$，那么以 $2$ 为阈值分治即可，最后可以得到的是复杂度为 $O(n)$，非常优秀啊 .