2023.8.23 闲话

Strikes Back

真肾：你看我现在脚踩 yspm

真肾：我是 JB 神

真肾：咦？我怎么还脚踩何喆？？？？

真肾：我天天 Rank 1

有点太困难了 .

考察 \(\displaystyle F(z)=\sum_{k=0}^n\dbinom{n-k}kz^k\)，如何找到其封闭形式？

加一个元 \(u\) 记 \(n\)，考察二元 GF：

\[\begin{aligned}G(z_1,z_2)&=\sum_{k_1\ge 0}\sum_{k_2\ge 0}\dbinom{k_2-k_1}{k_1}z^{k_1}u^{k_2}\\&=\sum_{k_1\ge 0}z^{k_1}\sum_{k_2\ge 0}\dbinom{k_2-k_1}{k_2-2k_1}u^{k_2}\\&=\sum_{k_1\ge 0}z^{k_1}\cdot \dfrac{u^{2k_1}}{(1-u)^{k_1+1}}\\&=\dfrac1{1-u-zu^2}\end{aligned} \]

反正结果是这个应该没问题，听说用无标号 SEQ 构造也行（注：AGC005D）.

然后提取就行了：

\[F(z)=[u^n]\dfrac1{1-u-zu^2}=\dfrac1{\sqrt{1+4z}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{1+4z}}2\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{1+4z}}2\right)^{n+1}\right) \]

看起来拉反不太有前途，也不应当是 D-finite 的，可能只能 \(O(n\log n)\) 求一行 .

upd. 我太错，是 D-finite 的 .