2023.8.22 闲话

哦哦哦，又是一年七夕，看看我去年七夕在干什么？——「朴素计树」。这都啥玩意啊？

竟然更闲话了 .

我感觉我已经完全弄懂 emacs 5x5 的做法了 .

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对于典中典问题 $\mu^2$ 前缀和，icyM3tra 老师的做法比较强劲，学习一下 .

分为时间最优和空间最优两种 .

因为记号太优秀了所以我也用 $\mathrm S\mu^2$ 表示 $\mu^2$ 前缀和 .

首先考虑 $O(n^{0.4})$ 的做法，其实和平凡做法就差一点 . 首先是整除分块：

$$\mathrm S\mu^2(n)=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)\left\lfloor\dfrac n{i^2}\right\rfloor$$

接下来就是要杜教筛求 $\mathrm S\mu$，这里整除分块不是常见整除分块，可以把杜教筛阈值分治部分的阈值调一下，根据一些分析可以得到复杂度是 $O(n^{0.4})$（自己算吧，不写了不写了）.

使用一些东西应该就可以除一个 log，不太了解这个 . 那么目前能想到的时间最优就是这个了 .

空间最优的话考虑改成递归形式：

$$\mathrm S\mu^2(n)=n-\sum_{i=2}^{\sqrt n}\mathrm S\mu^2\left(\left\lfloor\dfrac n{i^2}\right\rfloor\right)$$

就是先对那个整除分块反演或者容斥然后移项 .

事实上，此处的两种形式：「整除分块形式」与「递归形式」的转换，我们早已见过：洛谷 P9511 大豆 .

类似杜教筛，分析出来时间复杂度是：

$$\sum_{i=1}^{\sqrt[3]{n}}\sqrt[3]{\dfrac n{i^2}}=O(n^{4/9})$$

空间复杂度的话因为只用 $O(n^{1/3})$ 个点值（因为 $\big\lfloor\frac{\lfloor\frac n{i^2}\rfloor}{j^2}\big\rfloor=\lfloor\frac n{(ij)^2}\rfloor$），所以就是 $O(n^{1/3})$ 的 .

一个抽象的常数优化：根据洛谷 P8883 幻想中成为原神的结论，$\mathrm S\mu^2(n)$ 和 $\frac{6n}{\pi^2}$ 差不多，所以直接存 $\mathrm S\mu^2(n)-\frac{6n}{\pi^2}$，这样大概可以压到半个 word 里优化空间常数 .

虽然和 SoyTony 筛的形式比较相似，但是这两种算法实际上是不能拼起来平衡的，比较失败 .

And in that light, I find deliverance.

或许这种东西应该被叫做标准处理方法或者「套路」了 .