2023.8.18 闲话

语录：

Rolling_star：*2900，不是特别高

K8He：但是怎么一不小心就最优解了呀，你们都不卡常的吗

K8He：刚才教练说话的时候，我以为又要发零食了

y_z_h：（精神小火）怎么起这么个 SB 名字

y_z_h：SB jijidawang

Aewruxk：（%%% happyguy）膜个 JB

IBR 1C. 子集积

单步容斥后变算 \(\le m\) 的个数，不难想到特判 \(1\) 后直接背包计算 .

不过不太能过，注意到答案和序列的顺序并没有关系，于是可以把相同的数一起转移，这样就能过了 .

根据调和级数的分析可以得到时间复杂度为 \(\Theta(m\log m)\) .

IBR 1E. 树上数点

类似 Blood Cousin 考虑启发式合并，每个深度分别维护，则可以发现只需要维护一种维护集合的数据结构，需要支持：

• 全局加 .
• 查 \(\le k\) 的元素个数 .

用带标记的 Um_nik 维护，使用有序数组归并好像时间复杂度就是 \(\Theta((n+q)\log n)\) .

IBR 2B. 最大割

正边全割掉之后边权取负算最小割即可 .

时间复杂度 \(\Theta(\operatorname{dinic}(n,m))\) .

IBR 2C. 勾股数对

首先为了方便分析令 \(n,m,p\) 同阶 .

众所周知任意满足 \(2\mid y\) 的本原勾股数 \((x,y,z)\) 和满足 \(a\perp b,\,a>b\) 且 \(a,b\) 奇偶性不同的正整数 \(a,b\) 形成双射：

\[\begin{aligned}&x=a^2+b^2\\&y=2ab\\&z=a^2-b^2\end{aligned} \]

那么再看 \(x,y\) 的限制可以发现 \(a,b\) 其实是被限制在不大于 \(\sqrt n\) 级别的，于是暴力枚举是可以接受的 .

时间复杂度为 \(\Theta(n)\) 或 \(\Theta(n\log n)\)（GCD 贡献 log，不带 log 的做法可以看 zky 写的）.

理论速通方式：找 Keven_He（玩原神）写，时间复杂度 \(O(p)\) .

I am that light, I am deliverance.