2023.8.10 闲话

看了一眼 STAOI R3 评价，主要都是针对 T2 的，后两道没多少评价，额 . T3 评价有点分化，可能和个人爱好有关 .

T2 数据较弱，我先谢罪 /wq

不过赛时过 T4 的没有写正解的，恼 . 赛后改成 2.5s 了，都得死 /fn（upd. 没杀掉，算了

其实好像时限是 1.5 倍 std 时间就行，没注意到 . 当时写的 std 跑的也不是那么快，就开的 4s，然后就被各种艹过。。

大豆

对于一个序列 $\{a\}$，定义其大豆化 (Soybeanization) 序列 $\{b\}$ 由如下操作得到：

1. 初始 $\{b\}$ 和 $\{a\}$ 相等。
2. $n$ 从小到大遍历整个正整数集，对于每个 $n$，进行操作：
   • $i$ 从小到大遍历整个不小于 2 的正整数集，对于每个 $i$，操作 $b_n\gets b_n-b_{\lfloor\frac ni\rfloor}$。
   • 如果 $i>n$，结束过程。

进而，定义一个序列的 $k$-大豆化序列为进行 $k$ 次大豆化操作后得到的序列。

现在给你一个整数序列 $\{t_n\}$，将 $\{t\}$ 复制无穷遍得到序列 $\{a\}$，求 $\{a\}$ 的 $k$-大豆化序列的第 $m$ 项。

序列下标从 1 开始。答案可能很大，对 $23068673$ 取模。

$1\le n\le 10^4$，$1\le m\le 10^{10}$，$k\in\{1,2,3\}$。

其实就是 SoyTony 筛啦，不过这个的预处理部分没有好组合意义，Rolling_star 给出了代数推导，感谢 .

首先考虑 $\{a\}$ 经过一次大豆化之后得到的序列 $\{b\}$ 满足递推：

$$b_m=a_m-\sum_{d=2}^mb_{\lfloor\frac md\rfloor}$$

那么暴力递归记忆化即可做到 $O(k\cdot m^{3/4})$ .

原递推式可以改写为：

$$b_m=a_m+b_m-\sum_{d=1}^mb_{\lfloor\frac md\rfloor}$$

那么就有 $\displaystyle \sum_{d=1}^mb_{\lfloor\frac md\rfloor}=a_m$，施整除 Möbius 反演，即得：

$$b_m=\sum_{i=1}^m\mu(i)a_{\lfloor\frac mi\rfloor}$$

（我本来以为这个整除 Möbius 反演没有啥应用的，没想到还能和 SoyTony 筛联系上）

进而考察 $\{b\}$ 的差分：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}b_m-b_{m-1}&=\sum_{i=1}^m\mu(i)(a_{\lfloor\frac mi\rfloor}-a_{\lfloor\frac{m-1}i\rfloor})\\&=\sum_{i\mid m}\mu(i)(a_{\frac mi}-a_{\frac{m}i-1})\end{aligned}\end{aligned}$$

其中 $a_0=0$ .

那么 Dirichlet 前缀和即可求出 $b$ 的差分，前缀和后即为 $b$，从而可以做到小范围预处理，若 $\le B$ 的部分预处理，结合杜教筛的时间复杂度分析，复杂度就是 $O\left(B\log\log B+\dfrac{m}{\sqrt B}\right)$，取 $B=m^{2/3}$ 那么就是 $O(km^{2/3}\log\log m)$，可以通过本题 .

有人评论我说 zak 有块筛卷积好做法，不过我又看了一遍他那个博也没咋看懂 . 颤抖 .

关于 $O(km^{2/3}\log m)$ 做法：也可以考虑直接对递推差分，这样就去掉整除了，不过得到的形式不太能 Dirichlet 前缀和（至少在我看来）. 现在应该已经被我卡了 .（upd. abcdefg