Max_QAQ 计算几何

那天睡了一上午觉，如果有漏的知识点提醒一下 qwq .

目录

• 二维计算几何基础
  • 点、向量、直线
  • 多边形基础
• 凸包
  • Andrew 算法
  • 动态凸包
  • 半平面交
  • Minkowski 和
• 杂项
  • Pick 定理
  • 最小圆覆盖
  • 平面最近点对

二维计算几何基础

点、向量、直线

点：$(x,y)$ .

向量：$(x,y)$ .

向量的运算（$A=(a_1,a_2),\ B=(b_1,b_2)$）：

• 加减：$A\pm B=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2)$

• 数乘：$k\cdot A=(k\cdot a_1,k\cdot a_2)$

• 模长：$|A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ .

• 幅角：$\theta=\arctan\frac{a_2}{a_1}$（可以用 atan2 求）.

  因为是 $\tan\theta=\frac{a_2}{a_1}$，所以一般情况极角排序（按幅角排序）可以用斜率排 .

• 点积：$A\cdot B=a_1b_1+a_2b_2=|A|\cdot |B|\cdot\cos\theta$ .

  判断夹角：$A\cdot B>0$ 锐角，$A\cdot B=0$ 直角，$A\cdot B<0$ 钝角 .

• 叉积：$A\times B=a_1b_2-b_1a_2=|A|\cdot |B|\cdot\sin\theta$（有向面积）.

  可以看成行列式：$A\times B=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}$ .

  判断方向：$A\cdot B>0$ 逆时针，$A\cdot B=0$ 共线，$A\cdot B<0$ 顺时针 .

• 旋转：$(a_1,a_2)$ 转 $\theta$：$(a_1\cos\theta-a_2\sin\theta,a_1\sin\theta+a_2\cos\theta)$ .

直线：记两个点 $A,B$，那么如果向量 $\bm v=B-A$，直线上的点就可以表为 $A+\bm vt$，限制 $t$ 可以得到线段或射线 .

点到直线的距离：

1. 文化课知识：$P(x_0,y_0),\ \ell:ax+by+c=0$，距离：
   $$\operatorname{dist}(P,\ell)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

2. 叉积算出平行四边形面积然后除以底 .

线段相交：

• 跨立实验：两端点在另一条直线的两侧（叉积判断）.
• 需要特殊处理共线情况 .

求交点：解方程 .

特殊情况（三点共线、四点共圆）在某些情形下可以直接扰动解决 .

POJ 3304 Segments

给 $n$ 条线段，问有没有一条直线，满足这些线段在直线上的投影有公共点 .

$n\le 100$ .

Solution

考虑找一条过所有线段的直线然后画一条与其垂直的线就好了 .

只需要连每两个线段端点然后判断即可找到一条过所有线段的直线 .

需要特判 $n=1$ .

时间复杂度 $O(n^3)$ .

POJ 2826 An Easy Problem?!

给两块长度相等的板子，天上垂直落下雨滴，问最后接到多少水 .

Solution

就是找到线段最高点连一下算三角形面积，有一个重要边界情况需要特殊处理：

多边形基础

多边形：用顶点表示 .

简单多边形面积：三角剖分，答案等于相邻边叉积和的一半 .

简单多边形重心：三角剖分，三角形是平凡的，然后合并就行了 .

点和多边形的位置关系（PIP）：从点出发引一条射线，判断交点奇偶性，可能需要多引几条规避边界问题 .

凸包

凸包就是最小的包含所有给定点的凸多边形 .

$[0,n]^2$ 上整点凸包点数上界：$O(n^{2/3})$，证明细节可参考杨景钦 2017 年集训队论文 .

Andrew 算法

单调栈处理即可 .

详细说明 .

动态凸包

动态凸包：带插入删除维护凸包信息 .

每次插入只会改 $O(1)$ 个点，删除必须先插入，所以维护凸包的结构复杂度均摊下来是没有问题的 . 只需要用平衡树状物维护上下凸壳就可以了 .

练习题（板子）：

• HAOI2011 防线修建 .
• CF70D Professor's task .

半平面交

半平面：一条直线一侧的位置 .

凸包和半平面交是对偶问题，所以做法也是基本相似的 . S&I 算法：极角排序后单调栈维护 .

HNOI2012 射箭

有若 $n$ 条竖着的线段 $x=x_0,\ y\in[y_1,y_2]$ 组成序列 $\{a\}$，画一个过原点的抛物线问过的线段和线段序列 $\{a\}$ 的 LCP 最长是多少 .

$n\le 10^5$ .

Solution

起手二分，那么一条抛物线 $y=ax^2+bx$ 过 $x=x_0,\ y\in[y_1,y_2]$ 当且仅当：

$$\dfrac{y_1}{x_0}\le ax_0+b\le\dfrac{y_2}{x_0}$$

不等号两个方向分别是一个半平面，跑半平面交判断即可 .

Minkowski 和

定义：两个凸包 $A,B$ 的 Minkowski 和 $C=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$ .

就是相当于对于凸包 $A$ 沿着 $B$ 的每个向量移动后得到的所有位置的并 .

做法不是很困难，极角排序后归并就行了 . 如果有三点共线情况还需要再求一次凸包 .

JSOI2018 战争

给两个凸多边形 $A,B$，若干次操作，每次将 $B$ 平移一下，操作后问 $A,B$ 是否有交 .

$A,B$ 的点数和操作次数均不大于 $10^5$ .

Solution

设 $A,B$ 上有点 $a,b$，那么移动向量 $\bm v$ 满足有交当且仅当存在 $b+\bm v=a$ .

可以写成 $\bm v=a-b$，Minkowski 和算 $A+(-B)$ 就行了 .

杂项

三维计算几何部分我就不写了 .

Pick 定理

顶点均为整点的简单多边形，面积 $A$、内部格点数和边上格点数满足 $A=i+\frac b2-1$ .

最小圆覆盖

最小圆覆盖：平面上若干个点，找一个最小的圆包含所有点 .

暴力：枚举三个点 $i,j,k$ 组成一个圆，两个点 $i,j$ 作为直径组成一个圆 .

优化：目前枚举到的点不能在最优圆内 .

然后随机打乱复杂度就对了 .

平面最近点对

cdq 分治双指针，复杂度是 $O(n\log n)$ 或者 $O(n\log^2n)$ 的 .

关于复杂度可以发现的是某个点周围有用的点不会很多：