2023.7.29 闲话

好像省选要没了。。蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌蚌

看 NOI 签名墙写了一个 gtm1514 feat. joke3579，有种下面图的感觉（不是：

看去心邻域处（带心的还是算了）有很多人自闭，只能说「多看前路风景，少谈一时输赢」了 . 真实了，还真是学 OI 目标越学越小 . 1kri 高手却表示其目标是越学越大，可能这种比较理想，但是一般确实达不到 .

推歌：コネクト (Connect) - ClariS .

虽然好久没推歌了，不过推一个 OP 是不是有点太随便了啊 .

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Rolling_star 问 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{i}{\ln i}$ 有啥估计 .

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\dfrac i{\ln i}&=O\left(\int_1^n\dfrac x{\ln x}\mathrm dx\right)\\&=O\left(\int_0^{\ln n}\dfrac{\mathrm e^{2t}}{t}\mathrm dt\right)&t=\ln x\\&=O\left(\int_0^{2\ln n}\dfrac{\mathrm e^{2t}}{2t}\mathrm d(2t)\right)\\&=O(\operatorname{Ei}(2\ln n))\\&=O\left(\dfrac{n^2}{\ln n}\right)\end{aligned}$$

积分能不能直接改成 $\Theta$ 啊 . 最后一步：$\operatorname{Ei}(x)\sim\mathrm e^x/x$ .

估计是估计了，一个别的做法：

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\dfrac i{\ln i}&\sim\sum_{i=1}^n\pi(i)\\&=\sum_{p\in\mathbb P\cap[1,n]}(n-p+1)\\&=O\left((n+1)\cdot \pi(n)-\dfrac{n^2}{\ln n}\right)\end{aligned}$$

其中 $\mathbb P$ 是素数集 . 用素数定理展开即得答案为 $O\left(\dfrac{n^2}{\ln n}\right)$，和上面一样 . 最后一步的估计 $\displaystyle\sum_{p\in\mathbb P\cap[1,n]}p=O\left(\dfrac{n^2}{\ln n}\right)$ 也需要积分（具体做法：2023.6.7 闲话），没有太减少难度 .

下界是平凡的：

$$\sum_{i=1}^n\dfrac i{\ln i}\ge\sum_{i=1}^n\dfrac i{\ln n}=\Theta\left(\dfrac{n^2}{\ln n}\right)$$

那么综合即可得到答案就是 $\Theta\left(\dfrac{n^2}{\ln n}\right)$ .

最后得出的结论比较奇怪：

$$\sum_{i=1}^n\pi(i)=\Theta(n\cdot\pi(n))$$

这指出在这个求和中把所有 $\pi(i)$ 都估计成 $\pi(n)$ 结果是没有问题的 .