2023.7.27 闲话

joke3579 整了个神题：

话说 Rolling_star 最近想整个具体数学改编题给 OI 用来着 .

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以前写的一个逆天 ABC D 题，当时是 OEIS 直接贺的答案，现在补一个证明 .

ABC254D Together Square

给定正整数 $n$，计算满足如下条件的二元组 $(i,j)$ 个数：

• $i,j$ 都是不大于 $n$ 的正整数 .
• $i\cdot j$ 是完全平方数 .

令 $f(n)$ 是 $n$ 的最大平方因子，根据之前的讨论可以知道 $i\cdot j$ 是完全平方数当且仅当 $\frac i{f(i)}=\frac j{f(j)}$ .

对于一个 $i$，给 $i$ 乘或除一个平方因子就可以得到所有合法的 $j$，考虑只算 $j\le i$ 的贡献，那么可以得到答案就是 $\sum\limits_{i=1}^n(\sqrt{f(i)}-1)$ .

然而并没有什么用，引入结论：

$$\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt n\rfloor}\varphi(i)\left\lfloor\dfrac n{i^2}\right\rfloor-n=\sum_{i,j,k\in[1,n]}[ij=k^2]$$

现在只需要证明左边也是那个玩意就行了 .

这个有点简单：

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{i=1}^n\sum_{d^2\mid i}\varphi(d)-n\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid\sqrt{f(i)}}\varphi(d)-n\\&=\sum_{i=1}^n(\sqrt{f(i)}-1)=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$

好好好，那么就欢乐地证完了所有结论，现在可以 $\Theta(\sqrt n)$ 算了 .

因为长得很像 $\mu^2$ 前缀和，一些展望：

• 求块筛：杜教筛或者阈值分治，$\Theta(n^{2/3})$ .
• 多测：$\Theta(\sqrt n+qn^{1/3})$ 整除分块 .

欧拉函数有点阴间，直觉上来看 Powerful Number 筛应该做不到更快了 .

不过用这个方法可以整一些奇怪的东西：

Sieve 2

有一个积性函数 $f$，给定正整数 $n$，求：

$$\sum_{i=1}^nf(i)\cdot s(i)$$

其中 $s(n)$ 是最大的满足 $d^2\mid n$ 的正整数 $d$ .

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^nf\cdot s(i)&=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid s(i)}(f*\mu)(d)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d^2\mid i}(f*\mu)(d)\\&=\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt n\rfloor}(f*\mu)(i)\left\lfloor\dfrac n{i^2}\right\rfloor\end{aligned}$$

直接算，$\Theta(\sqrt n)$ . 不过前面都没有用到 $f$ 的积性，所以对于任意 $f$，也可以 $\Theta(\sqrt n\log\log n)$ 做 .

再展望有点无聊了：

• 求块筛：杜教筛（可能比较难）或者阈值分治，$\Theta(n^{2/3})$ .
• 多测：$\Theta(\sqrt n+qn^{1/3})$ 整除分块 .