2023.7.25 闲话

God is Madoka.

对于奇质数 \(p\) 和正整数 \(n\)，若 \(n\ge p\)，则

\[\dbinom np\equiv\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p \]

证明：

根据定义有 \(\dbinom np=\dfrac{n^{\underline{p}}}{p!}\)，而 \(\{n,n-1,n-2,\cdots,n-p+1\}\) 组成一个模 \(p\) 的完全剩余系，也就是说有唯一的 \(d\in\{n,n-1,n-2,\cdots,n-p+1\}\) 使得 \(p\mid d\) .

下证 \(\displaystyle d=p\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\)，即只需证明 \(n-p+1\le p\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\le n\)（因为 \(d\) 的唯一性） .

令 \(n=kp+r\)，其中 \(0\le r<p\)，则只需证 \(kp+r-p+1\le kp\le kp+r\)，这显然成立 .

于是

\[\begin{aligned}\dbinom np&=\dfrac{n(n-1)\cdots(d+1)d(d-1)\cdots(n-p+1)}{p(p-1)!}\\&=\dfrac{p\lfloor\frac np\rfloor\cdot n(n-1)\cdots(d+1)(d-1)\cdots(n-p+1)}{p(p-1)!}\\&=\dfrac{\lfloor\frac np\rfloor\cdot n(n-1)\cdots(d+1)(d-1)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}\end{aligned} \]

于是 \(\{n,n-1,\cdots,(a+1)a(a-1)\cdots,n-p+1\}\) 也是模 \(p\) 的完全剩余系 .

又 \(\{1,2,\cdots,p\}\) 是模 \(p\) 的完全剩余系，\(p\mid a\) 且 \(p\mid p\)，故

\[(p-1)!\equiv n(n-1)\cdots(a+1)(a-1)\cdots(n-p+1)\pmod p \]

即

\[\dbinom np(p-1)!\equiv(p-1)!\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p \]

又 \(p\) 为奇素数，于是 \(\gcd((p-1)!,p)=1\)，即 \((p-1)!\) 存在逆元，于是

\[\dbinom np\equiv\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p \]