2023.7.25 闲话

God is Madoka.

对于奇质数 $p$ 和正整数 $n$，若 $n\ge p$，则

$$\dbinom np\equiv\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p$$

证明：

根据定义有 $\dbinom np=\dfrac{n^{\underline{p}}}{p!}$，而 $\{n,n-1,n-2,\cdots,n-p+1\}$ 组成一个模 $p$ 的完全剩余系，也就是说有唯一的 $d\in\{n,n-1,n-2,\cdots,n-p+1\}$ 使得 $p\mid d$ .

下证 $\displaystyle d=p\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor$，即只需证明 $n-p+1\le p\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\le n$（因为 $d$ 的唯一性） .

令 $n=kp+r$，其中 $0\le r<p$，则只需证 $kp+r-p+1\le kp\le kp+r$，这显然成立 .

于是

$$\begin{aligned}\dbinom np&=\dfrac{n(n-1)\cdots(d+1)d(d-1)\cdots(n-p+1)}{p(p-1)!}\\&=\dfrac{p\lfloor\frac np\rfloor\cdot n(n-1)\cdots(d+1)(d-1)\cdots(n-p+1)}{p(p-1)!}\\&=\dfrac{\lfloor\frac np\rfloor\cdot n(n-1)\cdots(d+1)(d-1)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}\end{aligned}$$

于是 $\{n,n-1,\cdots,(a+1)a(a-1)\cdots,n-p+1\}$ 也是模 $p$ 的完全剩余系 .

又 $\{1,2,\cdots,p\}$ 是模 $p$ 的完全剩余系，$p\mid a$ 且 $p\mid p$，故

$$(p-1)!\equiv n(n-1)\cdots(a+1)(a-1)\cdots(n-p+1)\pmod p$$

即

$$\dbinom np(p-1)!\equiv(p-1)!\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p$$

又 $p$ 为奇素数，于是 $\gcd((p-1)!,p)=1$，即 $(p-1)!$ 存在逆元，于是

$$\dbinom np\equiv\left\lfloor\dfrac np\right\rfloor\pmod p$$