2023.7.22 闲话

最近都什么逆天模拟赛，这把 MO 高联二试构造都出出来了，报复社会吗这是 .

Unknowinds

Jocelyn 是一个喜欢玩游戏的女孩子，她正在玩一款全新上架的游戏 Free Unknowinds Passing，具体玩法如下：

游戏整体由一个向右向上无限延伸的棋盘组成，游戏开始时，Jocelyn 会出生在棋盘的左下角 \((0,0)\)。

Jocelyn 持有一个长度为 \(m\) 的序列 \(\{S_m\}\)，初始 \(S\) 为 \(1,2,3,\cdots,w\)。Jocelyn 需要从 \((0,0)\) 走到 \((w-m,w+m)\)，他每次只会向右走一步或者向上走一步。

当到达终点的时候，他会选择一个新的序列 \(S'\subseteq S\)，并且回到 \((0,0)\) 重新开始一轮游戏。特别的，如果她已经进行了 \(n\) 轮游戏，则她会退出游戏，不再进行游玩。

Jocelyn 是一个喜欢计数的女孩子，所以她想知道合法的操作方案的数量，两种方案本质不同当且仅当存在一轮游戏选择的序列不同，或者存在一步走的方向不一样。因为答案太大，所以只需要输出对 \(10^9+7\) 取模后的值即可。

\(1\le n,w\le2\times10^6\)。

一些报复社会的东西还是不要放了吧 .

考虑朴素 DP 即可得到答案的递推式：

\[S(n,r)=\sum_{k=0}^r\dbinom rk\dbinom{2w}{w-k}S(n-2,i) \]

断言：答案等于：

\[S(n,r)=\dbinom{w+r}{r}^{-1}\sum_{k=-r}^r(-1)^k\dbinom{w+r}{r+k}\dbinom{w+r}{w+k}\dbinom{2w}{w+k}^{n-2} \]

证明：

考虑证明如上答案满足递推 .

引理：\(\displaystyle\dbinom{a+b}{a+k}\dbinom{a+b}{b+k}=\sum_{i=0}^{a-k}\dfrac{(a+b)!}{i!(i+2k)!(a-k-i)!(b-k-i)!}\) .

关于证明，考察 \(\displaystyle\mathrm{RHS}=\frac{(a+b)!}{(2k)!(a-k)!(b-k)!}F\left(\begin{gathered}k-a,k-b\\2k+1\end{gathered}\middle|1\right)=\dbinom{a+b}{a+k}\dbinom{a+b}{b+k}\) 即得，最后一步是 \(z=1\) 时高斯超几何级数的计算公式 .

令 \(\displaystyle F(r,n,k)=\dbinom{w+r}{r+k}\dbinom{w+r}{w+k}\dbinom{2w}{w+k}^{n-2}\)，则可以得到朴素的递推：

\[F(r,k)=\dbinom{w+r}{r+k}\dbinom{w+r}{w+k}F(w,k-2) \]

同时，又可以用 \(F\) 表出 \(S(n,r)\)，结合刚刚得到的递推以及 Lemma，可得：

\[\begin{aligned}S(n,r)&=\sum_{k=-r}^r\sum_{i=0}^{r-k}(-1)^kF(w,k)\dfrac{r!w!}{i!(i+2k)!(r-k-i)!(w-k-i)!}\\&=\sum_{l=0}^r\dfrac{r!w!}{(r-l)!(w-l)!}\sum_{k=-l}^l(-1)^k\dfrac{F(w,n-2,k)}{(l-k)!(l+k)!}&(l=i+k)\\&=\sum_{k=0}^{w}\dbinom{w}k\dbinom{2w}{w-k}S(n-2,i)\end{aligned} \]

注：对于最后一个等号，考虑

\[F(w,n,k)=\dfrac{(l-k)!(l+k)!(2w)!}{(w+l)!(w+l)!}F(l,n+1,k) \]

由此，命题获证 .

那么直接计算就可以了，时间复杂度 \(\Theta(w\log n)\)，可以通过 .