2023.7.21 闲话

怎么是每天早上发闲话啊 .

Sonnety 说 DECO 的吸血鬼没有赏析歌词的，这有什么赏析的必要啊？

gtm1514 要写树上邻域数点了，好好好 . yspm 甲级战犯 .

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睿智恒等式 III

$$\sum_{i=1}^{n/2}\dbinom n{i,i,\frac n2-i,\frac n2-i}=\dbinom n{\frac n2}^2$$

其中 $n$ 是偶数 .

睿智恒等式竟然还能有续集，是不是很感动 .

证明 1

考虑组合意义，考虑一个点从 $(0,0)$ 出发四连通走 $n$ 步回到 $(0,0)$ 的方案数 .

那么左式相当于枚举走左的步数，是可以成功计数的 .

对于右式，相当于考虑选出「向上或向右」和「向上或向左」的操作，然后可以根据简单操作算出每种操作具体是什么，所以也是可以成功计数的 .

从而，左式等于右式自然得证 .

证明 2

什么 Rolling_star 科技 . 首先写出相邻两项之比：

$$\dfrac{t_{k+1}}{t_k}=\dfrac{(\frac n2-k)^2}{(k+1)^2}$$

那么原式可以写为超几何函数：

$$\newcommand{\hyps}[3]{F\left(\begin{gathered}#1\\#2\end{gathered}\middle|\,#3\right)}\mathrm{ans}=\dbinom n{\frac n2}\hyps{-\tfrac n2,-\tfrac n2}{1}{1}$$

根据高斯超几何函数的一个计算公式 $\hyps{a,b}{c}{1}=\dfrac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$，代入可以得到答案就是 $\dbinom n{\frac n2}^2$ .

证明 3

机械降神 .

$\bf 1$-Pfaff-Saalschütz Identity（具体数学 $(5.97)$）

$$\dbinom{a+b}{a+r}\dbinom{a+c}{c+r}\dbinom{b+c}{b+r}=\sum_k\dbinom{a+b+c-k}{a-k,b-k,c-k,k-r,k+r}$$

具体可以看 Rolling_star 刚写的 . 如果要找具体数学上形式基本一致的可以看一下 $(5.29)$ .

二元形式，听说可以用三元的取 $c=\infty$ 得到：

$$\dbinom{a+b}{a+r}\dbinom{a+b}{b+r}=\sum_{k=0}^{a-c}\dfrac{(a+b)!}{k!(k+2r)!(a-r-k)!(b-r-k)!}$$

代入 $a=b=\frac n2,\ r=0$ 即得 . 其实是和 证明 2 等价的 .

关于初等证明应当是没有了 .