2023.7.18 闲话

昨天的问题：对于一个元素均在 \((0,1)\) 内的序列 \(\{a\}\)，\(\prod a_i\) 的极限是否能不为 0？

考虑：

\[\ln x=\sum_{n\ge 1}\dfrac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}n \]

两边同时取 exp：

\[x=\prod_{n\ge 1}e^{\frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}n} \]

不难验证这个构造对于 \(x\in[0,1)\) 都是可以运行的 .

（Rolling-star）

还有一个比较神秘的：

\[x=\prod_{n\ge 0}\dfrac{(n+\frac x{1-x})(n+\frac x{1-x}+2)}{(n+\frac x{1-x}+1)^2} \]

（bikuhiku）

呃呃 .