2023.7.18 闲话

昨天的问题：对于一个元素均在 $(0,1)$ 内的序列 $\{a\}$，$\prod a_i$ 的极限是否能不为 0？

考虑：

$$\ln x=\sum_{n\ge 1}\dfrac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}n$$

两边同时取 exp：

$$x=\prod_{n\ge 1}e^{\frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}n}$$

不难验证这个构造对于 $x\in[0,1)$ 都是可以运行的 .

（Rolling-star）

还有一个比较神秘的：

$$x=\prod_{n\ge 0}\dfrac{(n+\frac x{1-x})(n+\frac x{1-x}+2)}{(n+\frac x{1-x}+1)^2}$$

（bikuhiku）

呃呃 .