2023.7.17 闲话

joke3579 整了一个题：

对于一个元素均在 \((0,1)\) 内的序列 \(\{a\}\)，\(\prod a_i\) 的极限是否能不为 0？

构造：

\[\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=\dfrac{\sin x}x \]

那么 \([0,1)\) 内的极限都是可以构造出来的，外面显然构造不出 .

关于具体证明，对于 \(x\in(0,\pi)\)，将 \(a=\dfrac x{\pi}\) 代入余元公式 \(\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\dfrac{\pi}{\sin a\pi}\)，得到 \(\Gamma\left(\dfrac x{\pi}\right)\Gamma\left(1-\dfrac x{\pi}\right)=\dfrac{\pi}{\sin x}\) .

那么可以得到 \(\sin x=\dfrac{\pi}{\Gamma\left(\frac x{\pi}\right)\Gamma\left(1-\frac x{\pi}\right)}\)，又 \(\displaystyle\Gamma(a)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^an!}{a^{\overline{n+1}}}\)，则可以得到：

\[\begin{aligned}\sin x&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\pi(\frac x{\pi})^{\overline{n+1}}}{n^{x/\pi}n!}\cdot\dfrac{(1-\frac x{\pi})^{\overline{n+1}}}{n^{1-x/\pi}n!}\\&=\lim_{n\to\infty} x\cdot\dfrac{n+1-\frac x{\pi}}n\prod_{k=1}^n\left(1+\dfrac x{k\pi}\right)\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac x{k\pi}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}x\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)\\&=x\cdot\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\end{aligned} \]

从而，即证明了 \(x\in(0,\pi)\) 时的

\[\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=\dfrac{\sin x}x \]

这已经足够了 .

Reference. 正弦函数 sinx 的无穷乘积展开式 朱传汇 .