2023.7.17 闲话

joke3579 整了一个题：

对于一个元素均在 $(0,1)$ 内的序列 $\{a\}$，$\prod a_i$ 的极限是否能不为 0？

构造：

$$\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=\dfrac{\sin x}x$$

那么 $[0,1)$ 内的极限都是可以构造出来的，外面显然构造不出 .

关于具体证明，对于 $x\in(0,\pi)$，将 $a=\dfrac x{\pi}$ 代入余元公式 $\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\dfrac{\pi}{\sin a\pi}$，得到 $\Gamma\left(\dfrac x{\pi}\right)\Gamma\left(1-\dfrac x{\pi}\right)=\dfrac{\pi}{\sin x}$ .

那么可以得到 $\sin x=\dfrac{\pi}{\Gamma\left(\frac x{\pi}\right)\Gamma\left(1-\frac x{\pi}\right)}$，又 $\displaystyle\Gamma(a)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^an!}{a^{\overline{n+1}}}$，则可以得到：

$$\begin{aligned}\sin x&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\pi(\frac x{\pi})^{\overline{n+1}}}{n^{x/\pi}n!}\cdot\dfrac{(1-\frac x{\pi})^{\overline{n+1}}}{n^{1-x/\pi}n!}\\&=\lim_{n\to\infty} x\cdot\dfrac{n+1-\frac x{\pi}}n\prod_{k=1}^n\left(1+\dfrac x{k\pi}\right)\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac x{k\pi}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}x\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)\\&=x\cdot\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\end{aligned}$$

从而，即证明了 $x\in(0,\pi)$ 时的

$$\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=\dfrac{\sin x}x$$

这已经足够了 .

Reference. 正弦函数 sinx 的无穷乘积展开式 朱传汇 .