2023.7.17 闲话 [P]

Happy Sugar Life，神作啊，没见过这么神的。。

joke3579 用邪道把古代题杀了，呃呃（需要注意带 Binomial[n, 1+n] 那一项实际上没有意义）.

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joke3579 说了一个证明 \(\R\) 和 \(\R\setminus \mathbb Q\) 等势的做法：

选一个 \(v\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\)，令 \(S=\mathbb Q\cup(\mathbb Q+v)\) .

不难发现存在双射 \(b:S\to (\mathbb Q+v)\)，则考虑：

\[f(x)=\begin{cases}x&x\in\mathbb R\setminus S\\b(x)&x\in S\end{cases} \]

则 \(f\) 是 \(\R\) 到 \(\R\setminus\mathbb Q\) 的双射，即 \(\R\) 和 \(\R\setminus \mathbb Q\) 等势 .

类似地：

对于任意满足 \(|B|\le|A\setminus B|\) 的无穷集 \(A,B\)，有 \(|A|=|A\setminus B|\) .

考虑找一个集合 \(C\subseteq A\setminus B\) 且 \(|C|=|B|\)，那么可以找到双射 \(b_0:B\to C\) .

令 \(S=B\cup C\)，则显然也存在双射 \(b:S\to C\)，那么考虑：

\[f(x)=\begin{cases}x&x\in A\setminus S\\b(x)&x\in S\end{cases} \]

则 \(f\) 是 \(A\) 到 \(A\setminus B\) 的双射，即 \(A\) 和 \(A\setminus B\) 等势 .

对于任意满足 \(|A|>|B|\) 的无穷集 \(A,B\)，有 \(|A|=|A\setminus B|\) .

（JohnVictor）

我们知道任意无穷集 \(A\) 满足 \(|A|=|A^2|\)（这与选择公理等价，参考资料）.

那么可以得到 \(|A\setminus B|=|(A\setminus B)^2|\ge|(A\setminus B)\cdot B|=|A|\)，而 \(|A\setminus B|\le|A|\) 是显然的，从而可以得到 \(|A\setminus B|=|A|\) .

从而，我们可以得到的是：

\[|A|\ge|A\setminus B|\ge|B|\ge\aleph_0\Longrightarrow |A|=|A\setminus B| \]

至于是不是充要的嘛，我集合论基础不好，有待后续讨论 .

上面内容是我编的如果不对敬请指正 . joke3579 真是学术先锋啊 .