2023.7.17 闲话 [P]

Happy Sugar Life，神作啊，没见过这么神的。。

joke3579 用邪道把古代题杀了，呃呃（需要注意带 Binomial[n, 1+n] 那一项实际上没有意义）.

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joke3579 说了一个证明 $\R$ 和 $\R\setminus \mathbb Q$ 等势的做法：

选一个 $v\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$，令 $S=\mathbb Q\cup(\mathbb Q+v)$ .

不难发现存在双射 $b:S\to (\mathbb Q+v)$，则考虑：

$$f(x)=\begin{cases}x&x\in\mathbb R\setminus S\\b(x)&x\in S\end{cases}$$

则 $f$ 是 $\R$ 到 $\R\setminus\mathbb Q$ 的双射，即 $\R$ 和 $\R\setminus \mathbb Q$ 等势 .

类似地：

对于任意满足 $|B|\le|A\setminus B|$ 的无穷集 $A,B$，有 $|A|=|A\setminus B|$ .

考虑找一个集合 $C\subseteq A\setminus B$ 且 $|C|=|B|$，那么可以找到双射 $b_0:B\to C$ .

令 $S=B\cup C$，则显然也存在双射 $b:S\to C$，那么考虑：

$$f(x)=\begin{cases}x&x\in A\setminus S\\b(x)&x\in S\end{cases}$$

则 $f$ 是 $A$ 到 $A\setminus B$ 的双射，即 $A$ 和 $A\setminus B$ 等势 .

对于任意满足 $|A|>|B|$ 的无穷集 $A,B$，有 $|A|=|A\setminus B|$ .

（JohnVictor）

我们知道任意无穷集 $A$ 满足 $|A|=|A^2|$（这与选择公理等价，参考资料）.

那么可以得到 $|A\setminus B|=|(A\setminus B)^2|\ge|(A\setminus B)\cdot B|=|A|$，而 $|A\setminus B|\le|A|$ 是显然的，从而可以得到 $|A\setminus B|=|A|$ .

从而，我们可以得到的是：

$$|A|\ge|A\setminus B|\ge|B|\ge\aleph_0\Longrightarrow |A|=|A\setminus B|$$

至于是不是充要的嘛，我集合论基础不好，有待后续讨论 .

上面内容是我编的如果不对敬请指正 . joke3579 真是学术先锋啊 .