2023.7.16 闲话

joke3579 好厉害啊 .

BK 竟然用 Solarized Light，第一次见到有和我一样的 /cy

APJ 科技：

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}-x\right)=\dfrac12$$

证明 1

展开为 Laurent 级数：$\dfrac12+\dfrac38x+O\left(\left(\dfrac1x\right)^2\right)$ .

那么可以知道答案就是 $\dfrac12$ 了 .

证明 2

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}-x\right)=\lim_{x\to\infty}x\cdot\dfrac{\sqrt x-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac x{\sqrt{x-1}(\sqrt x+\sqrt{x-1})}$$

使用等价无穷大 $\sqrt x\sim\sqrt{x-1}$（不难验证）即可得到等于 $\dfrac12$ .

证明 3

有点谔谔。

Lemma

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x}\right)=-1$$

证明：

考虑使用夹逼准则，后面默认 $x>1$ . 首先令 $f(x)=\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x}$，那么进行一些简单的放缩即可得到 $f(x)<-1$ .

接下来要证明的是 $f(x)>-\frac1{x^2}-1$ .

两边同时平方得 $2x^2-2x\sqrt{x^2-1}<1+\frac2{x^2}+\frac1{x^4}$ .

经过一些平凡的化简最终可以得到 $1-\sqrt{1-\frac1{x^2}}<\frac3{2x}+\frac2{x^2}$ .

作代换 $t=\frac1x$，即得 $1-\sqrt{1-t^2}<\frac{3t}2+\frac{t^2}2$（注意这里范围是 $t\in(0,1)$）.

考虑 $d(x)=1-\sqrt{1-x^2}-\frac{3t}2-\frac{t^2}2$，注意到 $d''(x)=\frac1{(1-x^2)^{3/2}}-1$ 在 $(0,1)$ 单调减，验证边界后可以得到 $d''(x)<0$，从而验证 $d(0)$ 和 $d'(0)$ 后不难得到 $d(x)<0$，这就意味着最初的 $f(x)>-\frac1{x^2}-1$ 成立了 .

综合，可以得到 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=-1$，证毕 .

回到原问题：

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{\dfrac{x^2}{x-1}}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3-x\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^2+x}\right)$$

最后一个等号：使用洛必达法则 .

有常见等价无穷大 $2x\sim\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}$ .

根据 Lemma，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x}\right)=-1$，和上述等价无穷大相加即得 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^2+x}\right)=\frac12$，从而可以得到原式等于 $\frac12$，证毕 .