2023.7.13 闲话

推歌:Lucid Traveler - Akira Complex vs 3R2 .

推歌:天灵灵地灵灵 - iKz .

把游戏人生又看了一遍,膜拜。


Pastry

给定序列 {an},令 Si={kan|k[1,an)Z},求 |i=1nSi| .

1n,ai105 .

闲话都开始放普及模拟赛题了,没救了。。

考虑既约分数处算贡献,那么把所有 ai 的不重复的因子处的欧拉函数加起来就好了,边界需要特判 .

假设 n 和值域同阶,那么调和级数地枚举倍数就是 Θ(nlogn) 的 . 已经可以通过了 .

有没有什么不基于高速分解因数的更优复杂度做法啊。。

或者可以得到递推的形式,对于函数 f 满足如下递推:

f(n)={0n=1n1+dndnf(d)n>1

证明:f(n)=φ(n)[n=1] .

证明 1:令 g=f+ε,那么有递推:f(n)=ndndnf(d),其实就是 f1=Id,这样就做完了 .

证明 2:暴力全展了得到 f=Id1(f1f),细心地解就可以得到答案了 .


解关于 f 的递推:

f(n)=g(n)dndnf(d)

移项过去就是 f1=g,所以解是平凡的 f=gμ .

DETER2

n,k,对于 n×n 的矩阵 A 满足 Ai,j=gcd(i,j)k,求 detA .

1n1061k109 .

考虑消成三角矩阵后对角线乘起来,根据数学归纳法可以知道一个位置只会被它的所有约数位减恰一次,那么:

f(n)=nkdndnf(d)

其中 f(n) 表示消元后 An,n 位的值 . 从而,我们知道 f=Idkμ 了 .

这个 f 其实是叫 Jordan's totient function Jk,不过知道这个也没啥用 .

考虑线性筛 f。那么只需要知道素数幂处的取值,直接考虑 DGF:

F(z)=ζ(zk)ζ(z)=pP1pz1pkz=pP(1+pkz1pkzpz1pkz)=pP(1+i1pikizi1pikizk)=pP(1+i1pikp(i1)kpiz)

那么可以知道,对于素数幂处的取值就是 f(pk)=pikp(i1)k ,后面是标准化方法的工作了 . 完成!

曾经已经见过 DGF 在处理这类问题时的强大了,DGF 太强了 .

一个差不多的题:Quo Vadis .

我到底在写啥啊。。

Can you hear me?


日 V

有点混乱。。

放几个最近觉得比较厉害的:

  • Liar Dancer - マサラダ feat. 重音テト(真神)
  • Kyu-kurarin - いよわ feat. 可不
  • ミーハー - Chinozo feat. 重音テト
  • 期待通り - 稲葉曇 feat. 音街ウナ
  • Golden Ray- はるまきごはん feat. 初音ミク
  • デーモンロード - kanaria feat. 初音ミク
  • HERO - Ayase feat. 初音ミク
  • 宇宙散歩 - DECO*27 feat. 可不
  • アタシ×I×MY∴理想論 - Ado x ユリイ・カノン feat. 初音ミク
  • ももいろの鍵 - いよわ feat. 初音ミク
  • ハナタバ - MIMI feat. 可不
  • 僕は依存症 - mikitoP feat. 初音ミク
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