2023.7.13 闲话

推歌：Lucid Traveler - Akira Complex vs 3R2 .

推歌：天灵灵地灵灵 - iKz .

把游戏人生又看了一遍，膜拜。

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Pastry

给定序列 \(\{a_n\}\)，令 \(S_i=\Bigg\{\dfrac k{a_n}\,\Big\vert\,k\in[1,a_n)\cup\Z\Bigg\}\)，求 \(\displaystyle\left|\bigcup_{i=1}^nS_i\right|\) .

\(1\le n,a_i\le 10^5\) .

闲话都开始放普及模拟赛题了，没救了。。

考虑既约分数处算贡献，那么把所有 \(a_i\) 的不重复的因子处的欧拉函数加起来就好了，边界需要特判 .

假设 \(n\) 和值域同阶，那么调和级数地枚举倍数就是 \(\Theta(n\log n)\) 的 . 已经可以通过了 .

有没有什么不基于高速分解因数的更优复杂度做法啊。。

或者可以得到递推的形式，对于函数 \(f\) 满足如下递推：

\[f(n)=\begin{cases}0&n=1\\n-1+\sum_{d\mid n\land d\neq n}f(d)&n>1\end{cases} \]

证明：\(f(n)=\varphi(n)-[n=1]\) .

证明 1：令 \(g=f+\varepsilon\)，那么有递推：\(f(n)=n-\sum_{d\mid n\land d\neq n}f(d)\)，其实就是 \(f*1=\mathrm{Id}\)，这样就做完了 .

证明 2：暴力全展了得到 \(f=\mathrm{Id}-1-(f*1-f)\)，细心地解就可以得到答案了 .

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解关于 \(f\) 的递推：

\[f(n)=g(n)-\sum_{d\mid n\land d\neq n}f(d) \]

移项过去就是 \(f*1=g\)，所以解是平凡的 \(f=g*\mu\) .

DETER2

给 \(n,k\)，对于 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 满足 \(A_{i,j}=\gcd(i,j)^k\)，求 \(\det A\) .

\(1\le n\le 10^6\)，\(1\le k\le 10^9\) .

考虑消成三角矩阵后对角线乘起来，根据数学归纳法可以知道一个位置只会被它的所有约数位减恰一次，那么：

\[f(n)=n^k-\sum_{d\mid n\land d\neq n}f(d) \]

其中 \(f(n)\) 表示消元后 \(A_{n,n}\) 位的值 . 从而，我们知道 \(f=\mathrm{Id}^k*\mu\) 了 .

这个 \(f\) 其实是叫 Jordan's totient function \(J_k\)，不过知道这个也没啥用 .

考虑线性筛 \(f\)。那么只需要知道素数幂处的取值，直接考虑 DGF：

\[\begin{aligned}F(z)&=\dfrac{\zeta(z-k)}{\zeta(z)}\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac{1-p^{-z}}{1-p^{k-z}}\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\left(1+\dfrac{p^{k-z}}{1-p^{k-z}}-\dfrac{p^{-z}}{1-p^{k-z}}\right)\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\left(1+\sum_{i\ge 1}p^{ik-iz}-\sum_{i\ge 1}p^{ik-iz-k}\right)\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\left(1+\sum_{i\ge 1}\dfrac{p^{ik}-p^{(i-1)k}}{p^{iz}}\right)\end{aligned} \]

那么可以知道，对于素数幂处的取值就是 \(f(p^k)=p^{ik}-p^{(i-1)k}\) ，后面是标准化方法的工作了 . 完成！

曾经已经见过 DGF 在处理这类问题时的强大了，DGF 太强了 .

一个差不多的题：Quo Vadis .

我到底在写啥啊。。

Can you hear me?

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日 V

有点混乱。。

放几个最近觉得比较厉害的：

• Liar Dancer - マサラダ feat. 重音テト（真神）
• Kyu-kurarin - いよわ feat. 可不
• ミーハー - Chinozo feat. 重音テト
• 期待通り - 稲葉曇 feat. 音街ウナ
• Golden Ray- はるまきごはん feat. 初音ミク
• デーモンロード - kanaria feat. 初音ミク
• HERO - Ayase feat. 初音ミク
• 宇宙散歩 - DECO*27 feat. 可不
• アタシ×I×MY∴理想論 - Ado x ユリイ・カノン feat. 初音ミク
• ももいろの鍵 - いよわ feat. 初音ミク
• ハナタバ - MIMI feat. 可不
• 僕は依存症 - mikitoP feat. 初音ミク