2023.7.14 闲话

闲话一周年！天地人间，完全放电！

伟大同盟。

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LQP

$n$ 个小球，分成若干个非空连续段，如果选的段长序列为 $\{l_k\}$，则贡献是 $\prod_{i=1}^kf(l_k)$，问所有选法的贡献之和 .

保证 $f$ 是二阶常系数齐次线性递推 .

假设 $f$ 的 OGF 是 $F$，对 $f$ 对应的组合类施 $\mathrm{SEQ}$ 构造，则可以得到答案的 OGF：

$$G(z)=\dfrac1{1-F(z)}$$

$f$ 的限制非常松，分式分解 $G$ 即可 .

XVK

$n$ 个互不相同的盒子，$n+m$ 个相同的球，盒子不能空，求所有放球方案中，每个盒子的球的数量的乘积之和 .

类似的，先考虑一个盒子的组合类 $\mathcal I$ 对应 OGF 就是 $\dfrac z{(1-z)^2}$，然后施 $\mathrm{SEQ}_{=n}$，答案就是：

$$\mathrm{ans}=[x^{n+m}]\dfrac{z^n}{(1-z)^{2n}}=\dbinom{2n+m-1}m$$

FAN

一个阶为 $n$ 的扇是满足如下定义的无向图：

• 以 $0,1,\cdots,n$ 为顶点 .
• 对于每个 $1\le i\le n$，有无向边 $(0,i)$ .
• 对于每个 $1\le i<n$，有无向边 $(i,i+1)$ .

求 $n$ 阶扇的生成树个数 .

首先去掉点 $0$，考虑后面的情况 .

对于生成树 $\mathcal T$ 选中的所有从 $0$ 出发的边 $(0,a_1),\cdots,(0,a_k)$，钦定子树顺序组成的排列的排名大小由 $\sum_{i=1}^ka_in^i$ 的大小决定 .

那么对于一个连通块考虑对应的组合类是 $\mathcal I$，后施 $\mathrm{SEQ}$ 构造状物，最后可以得到答案的 OGF 为 $\dfrac z{1-3z+z^2}$，这就是 $F_{2n}$ 的 OGF，其中 $F$ 是 Fibonacci 数列 . 那么问题已经被解决了 .

虽然是和 LQP 差不多的题目，但是实际操作起来有一些边界问题比较麻烦，也导致最后答案不是单纯的 $\mathrm{SEQ}$ .

（具体数学 7.3 例 6）

竟然是 $\mathrm{SEQ}$ 构造系列，建议具体数学增扩符号化方法章节 .

God is Madoka.