2023.7.14 闲话

闲话一周年！天地人间，完全放电！

伟大同盟。

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LQP

\(n\) 个小球，分成若干个非空连续段，如果选的段长序列为 \(\{l_k\}\)，则贡献是 \(\prod_{i=1}^kf(l_k)\)，问所有选法的贡献之和 .

保证 \(f\) 是二阶常系数齐次线性递推 .

假设 \(f\) 的 OGF 是 \(F\)，对 \(f\) 对应的组合类施 \(\mathrm{SEQ}\) 构造，则可以得到答案的 OGF：

\[G(z)=\dfrac1{1-F(z)} \]

\(f\) 的限制非常松，分式分解 \(G\) 即可 .

XVK

\(n\) 个互不相同的盒子，\(n+m\) 个相同的球，盒子不能空，求所有放球方案中，每个盒子的球的数量的乘积之和 .

类似的，先考虑一个盒子的组合类 \(\mathcal I\) 对应 OGF 就是 \(\dfrac z{(1-z)^2}\)，然后施 \(\mathrm{SEQ}_{=n}\)，答案就是：

\[\mathrm{ans}=[x^{n+m}]\dfrac{z^n}{(1-z)^{2n}}=\dbinom{2n+m-1}m \]

FAN

一个阶为 \(n\) 的扇是满足如下定义的无向图：

• 以 \(0,1,\cdots,n\) 为顶点 .
• 对于每个 \(1\le i\le n\)，有无向边 \((0,i)\) .
• 对于每个 \(1\le i<n\)，有无向边 \((i,i+1)\) .

求 \(n\) 阶扇的生成树个数 .

首先去掉点 \(0\)，考虑后面的情况 .

对于生成树 \(\mathcal T\) 选中的所有从 \(0\) 出发的边 \((0,a_1),\cdots,(0,a_k)\)，钦定子树顺序组成的排列的排名大小由 \(\sum_{i=1}^ka_in^i\) 的大小决定 .

那么对于一个连通块考虑对应的组合类是 \(\mathcal I\)，后施 \(\mathrm{SEQ}\) 构造状物，最后可以得到答案的 OGF 为 \(\dfrac z{1-3z+z^2}\)，这就是 \(F_{2n}\) 的 OGF，其中 \(F\) 是 Fibonacci 数列 . 那么问题已经被解决了 .

虽然是和 LQP 差不多的题目，但是实际操作起来有一些边界问题比较麻烦，也导致最后答案不是单纯的 \(\mathrm{SEQ}\) .

（具体数学 7.3 例 6）

竟然是 \(\mathrm{SEQ}\) 构造系列，建议具体数学增扩符号化方法章节 .

God is Madoka.