2023.7.8 闲话 😎

突然意识到 fg=h 不能推出 f=hgμ,赶快给以前的两篇整除 Möbius 反演打上了补丁 . 不过这个问题居然一直没有人提出 /kk

放一个对的式子:

f(n)=i=1nh(i)g(ni)g(n)=i=1nh1(i)f(ni)

其中 x1x 的 Dirichlet 卷积逆 . 推导 A推导 B,本质相同 .


约数和 σ(n)=dnd,考虑 w(n)=maxi[1,n]{σ(i)} 的数量级 .

根据 lqy 的结果,我们已经知道 w(n)=Θ(nloglogn),下面试图证明一下 . 证明的思路是大致相同的,不过细节处可能有一些区别 .

以下所有 p 默认为素数 .

Lemma

对于 L(n)=lcm(1,2,,n),有 lnL(n)=Θ(n) .

证明:

lnL(n)=lnpnplogpn=pnlnplogpn=pnlnplnnlnppnlnn=lnnπ(n)

根据素数定理 π(n)nlnn,可以得到 lnL(n)=Ω(n) .

lnL(n)=pnlnplnnlnppn(lnn+lnp)=lnnπ(n)+pnlnp

加号前面是素数定理,后面是切比雪夫函数 θ(n),可以证明 θ(n)=Θ(n),那么可以得到 lnL(n)=O(n) .

根据 lnL(n)=Ω(n)lnL(n)=O(n),可以得到 lnL(n)=Θ(n),证毕 .

那么如果 m=L(n),可以得到 σ(m)i=1nmi=Θ(mlogn),于是结合 Lemma 可以得到 w(n)=Ω(nloglogn) .

如果 n 的唯一分解是 n=i=1kpiαi,有:

σ(n)=ni=1kj=0αi1pijni=1kpipi1

g(n)=pnp,那么实际上就是需要估计最大的 h(n)=k 使得 g(k)n,之后外面复合一个 f(n)=pnpp1 即可 .

依次分析,对于前面切比雪夫函数的一个估计 θ(n)n,两边同时 exp 即可得到 g(n)en,那么自然可以知道 h(n)logn .

根据 Mertens 定理有估计 f(n)logn,那么可以得到 σ(n)nf(h(n))=Θ(nloglogn),于是 σ(n)=O(nloglogn) .

根据 w(n)=Ω(nloglogn)w(n)=O(nloglogn),可以得到 w(n)=Θ(nloglogn),证毕 .

类似可以得到 maxi=1n{ω(n)}=Θ(lognloglogn)φ(n)=Ω(nloglogn),具体看 lqy 博客吧 .

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