突然意识到 f∗g=h 不能推出 f=h∗g∗μ,赶快给以前的两篇整除 Möbius 反演打上了补丁 . 不过这个问题居然一直没有人提出 /kk
放一个对的式子:
f(n)=n∑i=1h(i)g(⌊ni⌋)⟺g(n)=n∑i=1h−1(i)f(⌊ni⌋)
其中 x−1 是 x 的 Dirichlet 卷积逆 . 推导 A、推导 B,本质相同 .

约数和 σ(n)=∑d∣nd,考虑 w(n)=maxi∈[1,n]{σ(i)} 的数量级 .
根据 lqy 的结果,我们已经知道 w(n)=Θ(nloglogn),下面试图证明一下 . 证明的思路是大致相同的,不过细节处可能有一些区别 .
以下所有 p 默认为素数 .
Lemma
对于 L(n)=lcm(1,2,⋯,n),有 lnL(n)=Θ(n) .
证明:
lnL(n)=ln∏p≤np⌊logpn⌋=∑p≤nlnp⌊logpn⌋=∑p≤nlnp⌊lnnlnp⌋≥∑p≤nlnn=lnn⋅π(n)
根据素数定理 π(n)∼nlnn,可以得到 lnL(n)=Ω(n) .
lnL(n)=∑p≤nlnp⌊lnnlnp⌋≤∑p≤n(lnn+lnp)=lnn⋅π(n)+∑p≤nlnp
加号前面是素数定理,后面是切比雪夫函数 θ(n),可以证明 θ(n)=Θ(n),那么可以得到 lnL(n)=O(n) .
根据 lnL(n)=Ω(n) 和 lnL(n)=O(n),可以得到 lnL(n)=Θ(n),证毕 .
那么如果 m=L(n),可以得到 σ(m)≥∑ni=1mi=Θ(mlogn),于是结合 Lemma 可以得到 w(n)=Ω(nloglogn) .
如果 n 的唯一分解是 n=∏ki=1pαii,有:
σ(n)=nk∏i=1αi∑j=01pji≤nk∏i=1pipi−1
令 g(n)=∏p≤np,那么实际上就是需要估计最大的 h(n)=k 使得 g(k)≤n,之后外面复合一个 f(n)=∏p≤npp−1 即可 .
依次分析,对于前面切比雪夫函数的一个估计 θ(n)∼n,两边同时 exp 即可得到 g(n)∼en,那么自然可以知道 h(n)∼logn .
根据 Mertens 定理有估计 f(n)∼logn,那么可以得到 σ(n)≤nf(h(n))=Θ(nloglogn),于是 σ(n)=O(nloglogn) .
根据 w(n)=Ω(nloglogn) 和 w(n)=O(nloglogn),可以得到 w(n)=Θ(nloglogn),证毕 .
类似可以得到 nmaxi=1{ω(n)}=Θ(lognloglogn),φ(n)=Ω(nloglogn),具体看 lqy 博客吧 .
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