2023.7.8 闲话 😎

突然意识到 \(f*g=h\) 不能推出 \(f=h*g*\mu\)，赶快给以前的两篇整除 Möbius 反演打上了补丁 . 不过这个问题居然一直没有人提出 /kk

放一个对的式子:

\[f(n)=\sum_{i=1}^nh(i)g\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)\iff g(n)=\sum_{i=1}^nh^{-1}(i)f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

其中 \(x^{-1}\) 是 \(x\) 的 Dirichlet 卷积逆 . 推导 A、推导 B，本质相同 .

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约数和 \(\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d\)，考虑 \(w(n)=\max\limits_{i\in[1,n]}\{\sigma(i)\}\) 的数量级 .

根据 lqy 的结果，我们已经知道 \(w(n)=\Theta(n\log\log n)\)，下面试图证明一下 . 证明的思路是大致相同的，不过细节处可能有一些区别 .

以下所有 \(p\) 默认为素数 .

Lemma

对于 \(L(n)=\operatorname{lcm}(1,2,\cdots,n)\)，有 \(\ln L(n)=\Theta(n)\) .

证明：

\[\begin{aligned}\ln L(n)&=\ln\prod_{p\le n}p^{\lfloor\log_pn\rfloor}\\&=\sum_{p\le n}\ln p\lfloor\log_pn\rfloor\\&=\sum_{p\le n}\ln p\left\lfloor\dfrac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor\\&\ge \sum_{p\le n}\ln n\\&=\ln n\cdot \pi(n)\end{aligned} \]

根据素数定理 \(\pi(n)\sim\frac n{\ln n}\)，可以得到 \(\ln L(n) = \Omega(n)\) .

\[\begin{aligned}\ln L(n)&=\sum_{p\le n}\ln p\left\lfloor\dfrac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor\\&\le \sum_{p\le n}(\ln n+\ln p)\\&=\ln n\cdot \pi(n)+\sum_{p\le n}\ln p\end{aligned} \]

加号前面是素数定理，后面是切比雪夫函数 \(\theta(n)\)，可以证明 \(\theta(n)=\Theta(n)\)，那么可以得到 \(\ln L(n)=O(n)\) .

根据 \(\ln L(n)=\Omega(n)\) 和 \(\ln L(n)=O(n)\)，可以得到 \(\ln L(n)=\Theta(n)\)，证毕 .

那么如果 \(m=L(n)\)，可以得到 \(\sigma(m)\ge\sum_{i=1}^n\frac mi=\Theta(m\log n)\)，于是结合 Lemma 可以得到 \(w(n)=\Omega(n\log\log n)\) .

如果 \(n\) 的唯一分解是 \(n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}\)，有：

\[\sigma(n)=n\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{\alpha_i}\dfrac1{p_i^j}\le n\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i}{p_i-1} \]

令 \(g(n)=\prod_{p\le n}p\)，那么实际上就是需要估计最大的 \(h(n)=k\) 使得 \(g(k)\le n\)，之后外面复合一个 \(f(n)=\prod_{p\le n}\frac p{p-1}\) 即可 .

依次分析，对于前面切比雪夫函数的一个估计 \(\theta(n)\sim n\)，两边同时 exp 即可得到 \(g(n)\sim\mathrm e^n\)，那么自然可以知道 \(h(n)\sim\log n\) .

根据 Mertens 定理有估计 \(f(n)\sim\log n\)，那么可以得到 \(\sigma(n)\le nf(h(n))=\Theta(n\log\log n)\)，于是 \(\sigma(n)=O(n\log\log n)\) .

根据 \(w(n)=\Omega(n\log\log n)\) 和 \(w(n)=O(n\log\log n)\)，可以得到 \(w(n)=\Theta(n\log\log n)\)，证毕 .

类似可以得到 \(\max\limits_{i=1}^n\{\omega(n)\}=\Theta(\frac{\log n}{\log\log n})\)，\(\varphi(n)=\Omega(\frac n{\log\log n})\)，具体看 lqy 博客吧 .