2023.7.8 闲话 😎

突然意识到 $f*g=h$ 不能推出 $f=h*g*\mu$，赶快给以前的两篇整除 Möbius 反演打上了补丁 . 不过这个问题居然一直没有人提出 /kk

放一个对的式子:

$$f(n)=\sum_{i=1}^nh(i)g\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)\iff g(n)=\sum_{i=1}^nh^{-1}(i)f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)$$

其中 $x^{-1}$ 是 $x$ 的 Dirichlet 卷积逆 . 推导 A、推导 B，本质相同 .

---

约数和 $\sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}d$，考虑 $w(n)=\max\limits_{i\in[1,n]}\{\sigma(i)\}$ 的数量级 .

根据 lqy 的结果，我们已经知道 $w(n)=\Theta(n\log\log n)$，下面试图证明一下 . 证明的思路是大致相同的，不过细节处可能有一些区别 .

以下所有 $p$ 默认为素数 .

Lemma

对于 $L(n)=\operatorname{lcm}(1,2,\cdots,n)$，有 $\ln L(n)=\Theta(n)$ .

证明：

$$\begin{aligned}\ln L(n)&=\ln\prod_{p\le n}p^{\lfloor\log_pn\rfloor}\\&=\sum_{p\le n}\ln p\lfloor\log_pn\rfloor\\&=\sum_{p\le n}\ln p\left\lfloor\dfrac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor\\&\ge \sum_{p\le n}\ln n\\&=\ln n\cdot \pi(n)\end{aligned}$$

根据素数定理 $\pi(n)\sim\frac n{\ln n}$，可以得到 $\ln L(n) = \Omega(n)$ .

$$\begin{aligned}\ln L(n)&=\sum_{p\le n}\ln p\left\lfloor\dfrac{\ln n}{\ln p}\right\rfloor\\&\le \sum_{p\le n}(\ln n+\ln p)\\&=\ln n\cdot \pi(n)+\sum_{p\le n}\ln p\end{aligned}$$

加号前面是素数定理，后面是切比雪夫函数 $\theta(n)$，可以证明 $\theta(n)=\Theta(n)$，那么可以得到 $\ln L(n)=O(n)$ .

根据 $\ln L(n)=\Omega(n)$ 和 $\ln L(n)=O(n)$，可以得到 $\ln L(n)=\Theta(n)$，证毕 .

那么如果 $m=L(n)$，可以得到 $\sigma(m)\ge\sum_{i=1}^n\frac mi=\Theta(m\log n)$，于是结合 Lemma 可以得到 $w(n)=\Omega(n\log\log n)$ .

如果 $n$ 的唯一分解是 $n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$，有：

$$\sigma(n)=n\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{\alpha_i}\dfrac1{p_i^j}\le n\prod_{i=1}^k\dfrac{p_i}{p_i-1}$$

令 $g(n)=\prod_{p\le n}p$，那么实际上就是需要估计最大的 $h(n)=k$ 使得 $g(k)\le n$，之后外面复合一个 $f(n)=\prod_{p\le n}\frac p{p-1}$ 即可 .

依次分析，对于前面切比雪夫函数的一个估计 $\theta(n)\sim n$，两边同时 exp 即可得到 $g(n)\sim\mathrm e^n$，那么自然可以知道 $h(n)\sim\log n$ .

根据 Mertens 定理有估计 $f(n)\sim\log n$，那么可以得到 $\sigma(n)\le nf(h(n))=\Theta(n\log\log n)$，于是 $\sigma(n)=O(n\log\log n)$ .

根据 $w(n)=\Omega(n\log\log n)$ 和 $w(n)=O(n\log\log n)$，可以得到 $w(n)=\Theta(n\log\log n)$，证毕 .

类似可以得到 $\max\limits_{i=1}^n\{\omega(n)\}=\Theta(\frac{\log n}{\log\log n})$，$\varphi(n)=\Omega(\frac n{\log\log n})$，具体看 lqy 博客吧 .