2023.7.6 闲话

你说得对，但是感觉不如周老师。

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对于 \(\mu^2\) 前缀和，对面搬上核武器了，那我肯定找不到更简单的做法了。。

但是 \(\mu*\mu^2=\mu(\sqrt n)\) 确实是可以有更简单推法的，具体的，因为积性所以可以考察素因子处的值，对于素数 \(p\)，手玩可以得到：

• \((\mu^2*\mu)(p)=0\) .
• \((\mu^2*\mu)(p^2)=\mu^2(p)=-1\) .
• 对于 \(k\ge 3\)，\((\mu^2*\mu)(p^k)=0\) .

（这种 \(f*\mu\) 在某个次幂以上就没值了的情况在 PN 筛也有涉及，不过好像没有什么比手玩好的做法）

那么也就是 \((\mu^2*\mu)(p^k)=-[k=2]\)，然后简单考虑一下分解的形式就可以知道 \(\mu^2*\mu=\mu(\sqrt n)\) 了 .

什么军备竞赛 .

要是说扩展的话，根据以前不知道为什么赞非常多的一篇闲话的相关内容，我们可以知道的是，对于

\[f(n)=\sum_{d^k\mid n}\mu(d) \]

是有 \(f*\mu=\mu(\sqrt[k]n)\) 的（其实改成 \(f=\mu(\sqrt[k]n)*1\) 就非常显然了，不过 DGF 形式方便后面考察）.

考察 \(f\) 的 DGF \(\dfrac{\zeta(z)}{\zeta(kz)}\)，根据定义展开 \(k\) 次方差可以得到 \(f\) 素数幂处的取值：

• 对于 \(e\le 1\)，\(f(p^e)=1\) .
• 对于 \(1<e\le k\)，\(f(p^e)=-1\) .
• 对于 \(e>k\)，\(f(p^e)=0\) .

也就是说，\(f(n)=(-1)^r\) 其中 \(r\) 是 \(n\) 的次数在 \([2,k]\) 之间的素因子数量 .

总之，有：

\[\sum_{d\mid n}(-1)^{\kappa(d)}\mu\left(\dfrac nd\right)=\mu(\sqrt[k]n)[\sqrt[k]n\in\Z] \]

其中 \(\kappa(n)\) 是 \(n\) 的次数在 \([2,k]\) 之间的素因子数量 .

虽然不知道有什么用，但是你就说扩没扩展吧 .