2023.7.6 闲话

你说得对，但是感觉不如周老师。

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对于 $\mu^2$ 前缀和，对面搬上核武器了，那我肯定找不到更简单的做法了。。

但是 $\mu*\mu^2=\mu(\sqrt n)$ 确实是可以有更简单推法的，具体的，因为积性所以可以考察素因子处的值，对于素数 $p$，手玩可以得到：

• $(\mu^2*\mu)(p)=0$ .
• $(\mu^2*\mu)(p^2)=\mu^2(p)=-1$ .
• 对于 $k\ge 3$，$(\mu^2*\mu)(p^k)=0$ .

（这种 $f*\mu$ 在某个次幂以上就没值了的情况在 PN 筛也有涉及，不过好像没有什么比手玩好的做法）

那么也就是 $(\mu^2*\mu)(p^k)=-[k=2]$，然后简单考虑一下分解的形式就可以知道 $\mu^2*\mu=\mu(\sqrt n)$ 了 .

什么军备竞赛 .

要是说扩展的话，根据以前不知道为什么赞非常多的一篇闲话的相关内容，我们可以知道的是，对于

$$f(n)=\sum_{d^k\mid n}\mu(d)$$

是有 $f*\mu=\mu(\sqrt[k]n)$ 的（其实改成 $f=\mu(\sqrt[k]n)*1$ 就非常显然了，不过 DGF 形式方便后面考察）.

考察 $f$ 的 DGF $\dfrac{\zeta(z)}{\zeta(kz)}$，根据定义展开 $k$ 次方差可以得到 $f$ 素数幂处的取值：

• 对于 $e\le 1$，$f(p^e)=1$ .
• 对于 $1<e\le k$，$f(p^e)=-1$ .
• 对于 $e>k$，$f(p^e)=0$ .

也就是说，$f(n)=(-1)^r$ 其中 $r$ 是 $n$ 的次数在 $[2,k]$ 之间的素因子数量 .

总之，有：

$$\sum_{d\mid n}(-1)^{\kappa(d)}\mu\left(\dfrac nd\right)=\mu(\sqrt[k]n)[\sqrt[k]n\in\Z]$$

其中 $\kappa(n)$ 是 $n$ 的次数在 $[2,k]$ 之间的素因子数量 .

虽然不知道有什么用，但是你就说扩没扩展吧 .