2023.7.4 闲话

话说今天是 yspm 重阳节，或者是 Yspm's Double Ninth Festival，最早见于《吕氏春秋》，有载古人祭飨天帝、祭祖的活动。

因为今天是 yspm 重阳节，所以肯定要对天神 yspm 作出真诚的膜拜：orz yspm。

关于 yspm 重阳节的更多信息，可以咨询装载了 GPT 4 的最新 K8He。

Cereris

竟然这张 Phigros 曲绘还能再被见到，gtm1514 太强了。

话说最近有一个总阴阳的大爷被行拘了，大家注意一下。有被 OPTIM 抢先机的嫌疑。

唯心主义是世界的内在法则，唯物主义是世界的外显形式。光就是一切的意义，光就是 arcaea 本身。膜拜地缚少年花子君。（评：三个分句，层层递进，热切地表述了自己的感受）

NaOH 老师

NaOH：APJ 是 1 是 0？

NaOH：（自己）这就是语言大师，用一个标点符号就能否定你的一句话！

NaOH：斯卡蒂是前教皇。

NaOH：怎么感觉我现在跟个机房活宝似的。

求

$\sum_{k=1}^nk^2H_{n+k}$
的封闭形式 .

分部求和法： $\sum u\Delta v=uv-\sum \mathrm Ev\Delta u$ .

直接应用，可以得到

ans = \frac{n (n - 1) (2 n - 1)}{6} H_{2 n + 1} - \sum_{0 \leq k \leq n} \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} \cdot \frac{1}{n + k + 1}

$\operatorname{ans}=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}6H_{2n+1}-\sum_{0\le k\le n}\dfrac{k(k+1)(2k+1)}6\cdot\dfrac1{n+k+1}$

具体过程省略 .

后面是纯 dirty works，不想看可以结束了 .

只需要算右边的，可以想到分离出分式的部分和多项式的部分：

\begin{aligned} \sum_{0 \leq k \leq n} \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} \cdot \frac{1}{n + k + 1} & = \sum_{0 \leq k \leq n} (\frac{k (2 k + 1)}{6} - \frac{n k}{3} + \frac{n (2 n + 1)}{6} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 (n + k + 1)}) \\ = \frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{36} + \frac{n^{3}}{6} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (H_{2 n + 1} - H_{n + 1})}{6} \end{aligned}

$\begin{aligned}\sum_{0\le k\le n}\dfrac{k(k+1)(2k+1)}6\cdot\dfrac1{n+k+1}&=\sum_{0\le k\le n}\left(\dfrac{k(2k+1)}6-\dfrac{nk}3+\dfrac{n(2n+1)}6-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+k+1)}\right)\\&=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{36}+\dfrac{n^3}6-\dfrac{n(n+1)(2n+1)(H_{2n+1}-H_{n+1})}6\end{aligned}$

那么合起来即可得到：