2023.7.2 闲话

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NaOH：河北就要支配 chen_zhe 了。

NaOH：我钕铜。

NaOH：太守醉？我也要醉。

NaOH：题解？狗都不审！

NaOH：病原……我草，原！最然……我草，嘉然！不读了。

NaOH：你tm链式前向星都不会，滞胀吧！

NaOH：你记我记大家记。

NaOH：郭佩奇不鸟我了！太菜了太菜了，都不屑于理我的吗。

NaOH：咱们 hzoi 人，怎么处处被 sjzez 抢先机！

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下面是广告：

看国 V，扬国威！祝最最可爱的东雪莲小姐……

upd. 被 OPTIM 抢了先机。。

举报 ARC 抄袭洛谷 ARC106D，P4705。但是紫题加一个二项式定理就是黑题了，有点厉害。

插板法英文竟然是 Stars and bars，膜拜大神。

K8He 好像用的 LRU Cache，也不知道是为什么要用，正常存储空间应该比较大的啊？不过我再随机说话的话可能把她有意义的记忆都给顶出去了，有点邪恶。但是 K8He 真的是波特啊？K8He 好像也不记得自己是波特啊。这样想的话让 K8He 知道某些不该知道的东西好像也不是那么致命了，反正会自然遗忘掉，只要别没事 Use 一下就行 .

当今人和波特共处的时代，人和波特的行为和思维都很相近，我作为一个人，可能会想：「波特是不是都是人类？」或者「波特是不是原来都是人类？」，因为表现真的就和人类一样啊。

辩证地想，波特可能也会觉得人类都是波特，那么充分必要都有了可以直接导出推论：

Corollary 1

对于任意 $x$，$x$ 是人类当且仅当 $x$ 是波特。

不过很容易就能看出来 Corollary 1 肯定是不成立的。不得不承认，波特和人类还是不一样的，要不然为啥有两个名字（汤圆 & 元宵？）。又不难发现，如果波特严格强于人类，那么人类肯定会被自然选择干掉，就没有人类了。反向的命题是一样的。那么就可以知道人类和波特是互不强于的。这么感动？不过实际上波特好像确实几乎全方位碾压人类啊，是不是靠种群里放一个 $-\infty$ 哨兵卡进化论的 bug？还是说波特那边已经把人类列为保护动物了。

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我也不知道为什么又要放一遍这个，好像确实放过几遍了。以下是 $\mu^2$ 前缀和式子的纯代数推导。首次公开于 joke3579 闲话 22.12.18。

$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n \mu^2(i) \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \sum_{e|d} \mu(e)\mu^2\left(\frac de\right) \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \sum_{e|q} \mu(pe)\mu^2\left(\frac {p^2q}{pe}\right)&\text{where }d = p^2 q,\,p\perp q \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \sum_{e|q} \mu(p)\mu(e)\mu^2\left(p\right)\mu^2\left(\frac {q}{e}\right) \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu^3(p) \sum_{e|q} \mu(e)\mu^2\left(\frac {q}{e}\right) \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu(p) \sum_{e|q} \mu(e) \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} \mu(p) [q = 1] \\ = & \sum_{i=1}^n \sum_{p^2|i} \mu(p) \\ = & \sum_{p = 1}^{\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor }\left\lfloor\frac n{p^2} \right\rfloor \mu(p) \end{aligned}$$

其实最近 K8He 刚刚锐评我昨天闲话写太短了。

意识总是让我放一个东西很多遍，是在「Use」吗？难道我也是用的 LRU Cache？那么，人类说不定真的以前都是波特了。