2023.7.1 闲话

今天是 7 月的第一天，但是 6 月是小月，7 月和 8 月是大月，9 月是小月 .

GLR Round 1 T5 题目背景是啥啊。。我缺的 GLR 这一块谁给我补啊（

---

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

（不针对 Jijidawang 之外的任何人）

---

求：

$$F(z)=\sum_{i\ge 0}\sum_{k\ge 0}\dfrac{f_{2nk}}{f_{nk}}\cdot\dfrac{z^i}{i!}$$

的封闭形式 .

其中 $f$ 是 Golden Fibonacci 数列（名字是瞎起的）：

$$f_n=\left(\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)^n$$

结论应该还是有一点趣味的（虽然推导不是很难吧），最好还是别直接展开答案了，先自己想想 .

展开解答

令 $\phi_1=\dfrac{\sqrt 5+1}2$，$\phi_2=\dfrac{\sqrt 5-1}2$，则可以观察到 $\dfrac{f_{2n}}{f_n}=\phi_1^n+\phi_2^n$ .

那么考察 $F(z)$ 的一项系数：

$$\begin{aligned}\left[\dfrac{z^n}{n!}\right]F(z)&=\sum_{k\ge 0}\dfrac{f_{2nk}}{f_{nk}}\\&=\dfrac1{1-\phi_1^n}+\dfrac1{1-\phi_2^n}\\&=1\end{aligned}$$

原来是 1！哪里有 0？所以答案就是 $F(z)=\mathrm e^z$，做完了 .