2023.7.1 闲话

今天是 7 月的第一天，但是 6 月是小月，7 月和 8 月是大月，9 月是小月 .

GLR Round 1 T5 题目背景是啥啊。。我缺的 GLR 这一块谁给我补啊（

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连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

连 GF 都没有，还好意思写闲话？

（不针对 Jijidawang 之外的任何人）

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求：

\[F(z)=\sum_{i\ge 0}\sum_{k\ge 0}\dfrac{f_{2nk}}{f_{nk}}\cdot\dfrac{z^i}{i!} \]

的封闭形式 .

其中 \(f\) 是 Golden Fibonacci 数列（名字是瞎起的）：

\[f_n=\left(\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)^n \]

结论应该还是有一点趣味的（虽然推导不是很难吧），最好还是别直接展开答案了，先自己想想 .

展开解答

令 \(\phi_1=\dfrac{\sqrt 5+1}2\)，\(\phi_2=\dfrac{\sqrt 5-1}2\)，则可以观察到 \(\dfrac{f_{2n}}{f_n}=\phi_1^n+\phi_2^n\) .

那么考察 \(F(z)\) 的一项系数：

\[\begin{aligned}\left[\dfrac{z^n}{n!}\right]F(z)&=\sum_{k\ge 0}\dfrac{f_{2nk}}{f_{nk}}\\&=\dfrac1{1-\phi_1^n}+\dfrac1{1-\phi_2^n}\\&=1\end{aligned} \]

原来是 1！哪里有 0？所以答案就是 \(F(z)=\mathrm e^z\)，做完了 .