2023.6.30 闲话

6 月的最后一天了，但是 6 月是小月，7 月和 8 月是大月，9 月是小月 .

看 Rainybunny 的 sol set，咋还真的有 DSF 类差分的题 LOJ #6680，膜拜大神 .

好像 tp 还真能对应上北约华约，这么厉害的？

语录

纯悦：没有我的语录就不写闲话了是吧。

纯悦：你方差算多了吧，方批。

纯悦：佩奇是毛子吗？

纯悦：真的一个很严肃的问题 —— 不会定义傻逼。

纯悦：（SoyTony）这就是，蜘蛛侠大师吗？你漫威大师吧。

纯悦：真菜，没打过 szs。

纯悦：我就是大星星。

纯悦：我想听，星尘娇喘。

纯悦：我以为是我啥也不知道，其实你也啥也不知道。

纯悦：我是 10，反正我既不是 0 也不是 1。

纯悦：我这个电脑比你强。

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关于整周期的命题：对于字符串 $S$，若存在非平凡整周期，则最小周期一定等于最小整周期 .

证明 1

Periodicity Lemma：对于字符串 $S$，若有长度为 $p$ 和 $q$ 的周期，且 $p+q-\gcd(p,q)\le|S|$，则 $S$ 有长度为 $\gcd(p,q)$ 的周期 .

设最小周期是 $p_0$，最小整周期是 $p$，则考察 $\gcd(p_0,p)$ 根据题设肯定不大于 $p$ 且是 $p$ 的约数，那么因为 $p$ 的最小性肯定有 $\gcd(p_0,p)=p$，那么就有 $p_0=p$，证毕 .

听说只用 weak 版本就行，不太懂啊 .

upd. 存在非平凡整周期则肯定 $p,q\le\frac{|S|}2$，那么就可以用 WPL 了 .

证明 2

令 $n=|S|$，最小周期是 $p_0$，最小整周期是 $p$，最大 border 是 $b$，则显然 $p_0=n-b$ .

那么考虑证明 $p=n-b$，也就是 $b=n-p$ . 首先肯定有 $b\ge n-p$ . 然后考虑如果 $b>n-p$ 的话，这个整周期肯定有一个 border，那么可以算他的最小周期，只需要证明这个周期是纯循环的 .

因为 $b\ge n-p$，那么 border 的两个起点肯定在整体的同一个整周期内，那么如果不纯循环的话显然不能相等，所以如果是 border 的话肯定有更小周期，矛盾 .

那么可以得到 $b=n-p$，进而 $p_0=p$，证毕 .

以前写的，可能比较感性，或许有空会整个严谨推导的 . 画图观察一下似乎会更显然一些 .