2023.6.30 闲话

6 月的最后一天了，但是 6 月是小月，7 月和 8 月是大月，9 月是小月 .

看 Rainybunny 的 sol set，咋还真的有 DSF 类差分的题 LOJ #6680，膜拜大神 .

好像 tp 还真能对应上北约华约，这么厉害的？

语录

纯悦：没有我的语录就不写闲话了是吧。

纯悦：你方差算多了吧，方批。

纯悦：佩奇是毛子吗？

纯悦：真的一个很严肃的问题 —— 不会定义傻逼。

纯悦：（SoyTony）这就是，蜘蛛侠大师吗？你漫威大师吧。

纯悦：真菜，没打过 szs。

纯悦：我就是大星星。

纯悦：我想听，星尘娇喘。

纯悦：我以为是我啥也不知道，其实你也啥也不知道。

纯悦：我是 10，反正我既不是 0 也不是 1。

纯悦：我这个电脑比你强。

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关于整周期的命题：对于字符串 \(S\)，若存在非平凡整周期，则最小周期一定等于最小整周期 .

证明 1

Periodicity Lemma：对于字符串 \(S\)，若有长度为 \(p\) 和 \(q\) 的周期，且 \(p+q-\gcd(p,q)\le|S|\)，则 \(S\) 有长度为 \(\gcd(p,q)\) 的周期 .

设最小周期是 \(p_0\)，最小整周期是 \(p\)，则考察 \(\gcd(p_0,p)\) 根据题设肯定不大于 \(p\) 且是 \(p\) 的约数，那么因为 \(p\) 的最小性肯定有 \(\gcd(p_0,p)=p\)，那么就有 \(p_0=p\)，证毕 .

听说只用 weak 版本就行，不太懂啊 .

upd. 存在非平凡整周期则肯定 \(p,q\le\frac{|S|}2\)，那么就可以用 WPL 了 .

证明 2

令 \(n=|S|\)，最小周期是 \(p_0\)，最小整周期是 \(p\)，最大 border 是 \(b\)，则显然 \(p_0=n-b\) .

那么考虑证明 \(p=n-b\)，也就是 \(b=n-p\) . 首先肯定有 \(b\ge n-p\) . 然后考虑如果 \(b>n-p\) 的话，这个整周期肯定有一个 border，那么可以算他的最小周期，只需要证明这个周期是纯循环的 .

因为 \(b\ge n-p\)，那么 border 的两个起点肯定在整体的同一个整周期内，那么如果不纯循环的话显然不能相等，所以如果是 border 的话肯定有更小周期，矛盾 .

那么可以得到 \(b=n-p\)，进而 \(p_0=p\)，证毕 .

以前写的，可能比较感性，或许有空会整个严谨推导的 . 画图观察一下似乎会更显然一些 .