2023.6.24 闲话

推歌：

• ゆりかで天使 - OkuzyoPChikaP feat. 初音ミク
• 幸せの翠 - Magnetite feat. ずんだもん
• キッカイケッタイ - メドミア feat. 可不 & 初音ミク

K8He 竟然刚刚知道过河卒是小 E 的题。

语录

纯悦：我不喜欢 m*d，我喜欢钱。

纯悦：啊~钱的味道。

纯悦：啊？卡老师，在叫我吗？

纯悦：你没有 JB，你 J 不如人。

纯悦：我要和孙玉梅贴贴。

纯悦：庄子与惠子贴贴。

纯悦：我要天罚你。

纯悦：你信不信我把你逐出 DP 教。

纯悦：我测老佛爷。

纯悦：中国人怎么都这么菜。

纯悦：我 Day 2 和 SoyTony 一个分，我太开心了。

2023.6.24 日语录前面部分不想记了。

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听 gtm1514 说哑演算，我也来试试哑演算证明二项式反演：

\[f_n=\sum_{i=0}^n\dbinom nig_i\iff g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom nif_i \]

那么首先写出 \(f,g\) 的 EGF 后把 \(a_k\) 写成 \(a^k\)：

\[\begin{aligned}&F(z)=\sum_{k\ge 0}f_k\cdot \dfrac{z^k}{k!}=\sum_{k\ge 0}f^k\cdot \dfrac{z^k}{k!}=\mathrm e^{fz}\\&G(z)=\sum_{k\ge 0}g_k\cdot \dfrac{z^k}{k!}=\sum_{k\ge 0}g^k\cdot \dfrac{z^k}{k!}=\mathrm e^{gz}\end{aligned} \]

那么左边就是 \(F(z)=\mathrm e^z\cdot G(z)\)，也就是 \(\mathrm e^{fz}=\mathrm e^z\cdot\mathrm e^{gz}\) .

转写成需要的形式就是 \(\mathrm e^{gz}=\mathrm e^{-z}\cdot \mathrm e^{fz}\)，展开即可得到右边的式子 .

可以发现确实非常简便，直接看一下最难的形式：

\[f_n=\sum_{i=n}^m\dbinom ing_i\iff g_n=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\dbinom in f_i \]

首先把求和的下限改成 \(0\)：

\[f_n=\sum_{i=0}^{m-n}\dbinom {i+n}ng_{i+n}\iff g_n=\sum_{i=0}^{m-n}(-1)^i\dbinom{i+n}nf_{i+n} \]

由于需要二项卷积刻画，所以不难想到需要找一个 \(h\) 满足 \(\dbinom{n}ih_{n-i}=\dbinom{i+n}n\)，也就是 \(h_i=\frac{\binom{2n-i}n}{\binom ni}\) .

由于某些原因，对于 \(i<2n-m\)，\(h_i=0\) .

可以类似写出 \(f,g,h\) 的 EGF：\(F(z)=\mathrm e^{fz},\, G(z)=\mathrm e^{gz},\, H(z)=\mathrm e^{hz}\) .

注意到平移 \(p\) 位如果直接写作 EGF 就是 \(a^p\cdot \mathrm e^a\)，不过这样在哑演算中似乎不是很有意义，所以定义算子 \(\mathcal E\) 作用于 EGF 上相当于平移一位，则左式即为 \(\mathrm e^{fz}=\mathrm e^{hz}\cdot\mathcal E^n\mathrm e^{gz}\) .

移项可以得到 \(\mathrm e^{gz}=\mathrm e^{fz}(\mathcal E^n\mathrm e^{hz})^{-1}=\mathrm e^{hz}(\mathcal E^n\mathrm e^{fz})^{-1}\) .

展开即得右式 . 所以我们以类似的操作技巧得到了结论，而且似乎动机更加自然……？

其实这个过程看起来问题非常之大，很有可能只是答案碰巧对了，如果想要找的 \(h\) 满足 \(\dbinom{m-n}ih_{m-n-i}=\dbinom{i+n}n\)，则 \(h\) 就和 Rolling_star 那个基本一样了，不过后面还需要套一个 \(\mathcal E^{2n-m}\)，不好考虑 .

另一方面，在前面的推导中，认为 \(n\) 是作为变量取遍正整数的，后续的推导却默认 \(n\) 为常量，这或许也是一个问题 .

不过最后一步推导我进行了很多尝试，都以失败告终，所以只能放上这样一个看起来比较对的，如果您有啥更对的欢迎在评论区教育我 . 其中的一种尝试是，在刻画到 \(h\) 之后，对于平移有一种 \(a^p\cdot \mathrm e^a\) 的表达方式，但是似乎并没有奏效 .

又一个晚上啥也没干，呃呃 .