2023.6.23 闲话

Rolling_star 的算子形式二项式反演 .

还是比较恐怖的，不过前面两个形式因为我一直想着把所有算子的作用函数都统一成一个所以都没整出结果（也有我不咋会推算子的原因在）.

听说第三种可以看成「标准处理方法」，我有空试试吧，不过直觉上感觉有点困难啊 .

经过观察，终于发现 SoyTony 筛的优势：求块筛比较快 . 那几个题目都是单点所以没有优势（

Kaguya 整了个神秘东西：去重 \(k\) 大流。

语录

纯悦：你看我咸吗？

纯悦：看来我数学基础还很强啊。

纯悦：你没 J 吧。

纯悦：神必东西！感觉不如神必东西！

纯悦：我现在看别的女的一点感觉没有，一看星尘就🐍出来咋办。

纯悦：我怎么这么多经典。

纯悦：我调教我自己。

纯悦：我能和谁贴贴？

纯悦：你觉得我找谁贴贴比较合适？

纯悦：（看 border 和 period）这么搞笑的吗？

Kaguya 的一个把视角代入一些奇怪的东西有点 educational 啊。

想象你是 \(\rm H^+\)，你的队友是 \(\rm NO_3^-\)，你们以 \(\rm HNO_3\) 形式存在。外校也有一个组合，由 \(\rm Na^+\) 和 \(\rm OH^-\) 组成，以 \(\rm NaOH\) 形式存在。一天，因为一个意外，你们凑到了一起，发生了复分解反应……？

呃呃，可能 K8He 比较喜欢这种吧（

K8He：NTR 是不是你和 joke3579 一起教给我的？

推歌：

• 『ユメオイ風導』‐ そらの feat. 音街ウナ
• ひとりじゃイヤ - みつあくま feat. 初音ミク
• アンラッキーシーズン - いめ44 feat. 歌愛ユキ

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因为没有什么可写的了，所以拿高考集训留下的若干杂题题解充当学术部分（估计能水一周左右了，呃呃）：

ARC104C Fair Elevator

可读题面 (Rainybunny)

数轴从 \(1\sim 2n\) 的整点上有 \(n\) 个闭区间。你只知道每个区间的部分信息（可能不知道左或右端点，或者都不知道），问是否存在满足已知信息的 \(n\) 个区间，满足：

• 每个整点是恰好一个区间的端点。
• 所有包含同一个整点的区间长度相等。

\(n\le 100\)。

首先判断已经给出的信息是否合法。然后观察可以发现一段有交的区间一定都是长成 \((i,i+l),(i+1,i+l+1),(i+2,i+l+2),\cdots\) 这样的 .

那么依此处理一下每个区间是否可能作为一段有交的区间后可以区间 DP 完成，时间复杂度 \(\Theta(n^3)\) .

ARC104D Multiset Mean

GF 没前途 .

首先序列 \(\{a_n\}\) 的平均数是 \(x\)，当且仅当 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n(a_i-x)=0\) .

那么对于每个 \(x\) 暴力多重背包即可，时间复杂度 \(O(n^3k)\) .

ARC104E Random LIS

首先 \(\Theta(n^n)\) 枚举排名序列，那么求出 LIS 后问题变成选一组被限制住上界的数列使得单调递增的方案数 .

假设上界的 bound 是 \(\{a_n\}\)，那么先取个后缀 min，就变成若干段 \((a_i,a_{i+1}]\)，考虑每个值落在哪一段，一段里的合起来转就行了 .

具体的，类似 APIO2016 划艇，考虑 DP，\(dp_{i,j}\) 是前 \(i\) 段选 \(j\) 个的方案数，第 \(i\) 段是 \((a_{i-1},a_i]\) 则：

\[dp_{i,j}=\sum_{k=i-1}^j\dbinom{a_i-a_{i-1}}{j-k}dp_{i-1,k} \]

因为组合数太难了所以暴力代入定义算，那么这个 DP 的时间复杂度就是 \(O(n^4)\) 的 .

于是总时间复杂度为 \(O(n^{n+5})\)，可以通过 .

早该砍砍了，别写 E 了 . 君子动口不动手 .