2023.6.14 闲话
K8He 又抛弃了 AGC,去做 ARC 了,可喜可贺的 .
推歌:
- 花と水飴、最終電車 - ナブナ feat. 初音ミク .
- DESTRUCTION 3,2,1 - Normal1zer vs. Broken Nerdz .
- 三妖精 SAY YA!!! - あやぽんず*/あよ .
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Genshin:(手指断了)那不挺好。
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Genshin:(……如何评价?)贴贴。
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Genshin:APJ……嘿嘿……APJ……嘿嘿……
Genshin:Rainybunny……嘿嘿……Rainybunny……(好的我用小写 b)
Genshin:做啥看啥都是原。
好像有一些比较迷惑的 Dirichlet 卷积逆关系:,, 等 .
膜拜 Dirichlet 卷积皇帝 Rolling_star,今天在 cnblogs 排行榜称您为大夏尊贵的大名,一股敬佩之油生然而,您在数论为国争光,扬我华威名。向您献上真挚的膜拜。
证明 1
考虑 :
等式两边同时除以 得:
直接对其应用莫比乌斯反演,或者代入:
证毕 .
证明 2
看了一圈,就 APJ 的证明最神 .
考虑 其中 的标准分解为 ,也就是 和素因子的次数是不相关的 .
那么讨论:
- 如果 不是 square-free number,则假设 选中了 的非平方因子集合 ,此时对于平方因子集合 ,不难发现无论选什么, 都是不变的 . 根据经典结论, 中大小为奇数和偶数的子集数量相等,此时 的贡献全部消去,则左式等于 0,命题成立 .
- 如果 是 square-free number,那么令 ,对于一个素因子 ,可以导出递推:展开可以得到:命题成立 .
证毕 .
证明 3
等式两边同时乘 即得 .
左右同时卷 ,得 .
左边使用剥点积技巧 或者代入即可得到证明 .
证明 4
不难发现 DGF 的平移用来刻画点乘幂函数 是恰当的:
于是可以将原式翻译为 DGF:
其中 和 分别是欧拉函数和莫比乌斯函数的 DGF .
则直接根据 和 的封闭形式展开可以显然得到 . 证毕 .
证明 5
Bell 级数对于点乘 也有很好的刻画,根据经典结论可以得到,相当于对 复合,代入不难验证 .
这样写出 的 Bell 级数后即可简单验证 . 具体过程略去 .
以下是博客签名,正文无关
本文来自博客园,作者:yspm,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/17479152.html
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