2023.6.14 闲话

K8He 又抛弃了 AGC,去做 ARC 了,可喜可贺的 .

推歌:

  • 花と水飴、最終電車 - ナブナ feat. 初音ミク .
  • DESTRUCTION 3,2,1 - Normal1zer vs. Broken Nerdz .
  • 三妖精 SAY YA!!! - あやぽんず*/あよ .
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Genshin:(手指断了)那不挺好。

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Genshin:(……如何评价?)贴贴。

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Genshin:APJ……嘿嘿……APJ……嘿嘿……

Genshin:Rainybunny……嘿嘿……Rainybunny……(好的我用小写 b)

Genshin:做啥看啥都是原。


好像有一些比较迷惑的 Dirichlet 卷积逆关系:λ,μ2d,1φId,μId 等 .

Rolling_star 恒等式

dnφ(d)dμ(nd)=μ(n)n

膜拜 Dirichlet 卷积皇帝 Rolling_star,今天在 cnblogs 排行榜称您为大夏尊贵的大名,一股敬佩之油生然而,您在数论为国争光,扬我华威名。向您献上真挚的膜拜。

证明 1

考虑 μId=φ

dnμ(d)nd=φ(n)

等式两边同时除以 n 得:

dnμ(d)d=φ(n)n

直接对其应用莫比乌斯反演,或者代入:

LHS=dnddμ(nd)μ(d)d=dnμ(d)ddndμ(ndd)=dnμ(d)d[n=d]=μ(n)n=RHS

证毕 .

证明 2

看了一圈,就 APJ 的证明最神 .

考虑 p(n)=φ(n)n=i=1k(11pi) 其中 n 的标准分解为 n=i=1npiαi,也就是 φId 和素因子的次数是不相关的 .

那么讨论:

  • 如果 n 不是 square-free number,则假设 nd 选中了 n 的非平方因子集合 S,此时对于平方因子集合 S,不难发现无论选什么,p(d) 都是不变的 . 根据经典结论,S 中大小为奇数和偶数的子集数量相等,此时 μ 的贡献全部消去,则左式等于 0,命题成立 .
  • 如果 n 是 square-free number,那么令 f(n)=LHS,对于一个素因子 p,可以导出递推:

    f(n)=(11p)f(np)f(np)

    展开可以得到:

    LHS=i=1k(1pi)=μ(n)n=RHS

    命题成立 .

证毕 .

证明 3

等式两边同时乘 n 即得 (μId)φ=μ .

左右同时卷 1,得 (μId)Id=μ1 .

左边使用剥点积技巧 (ac)(bc)=(ab)c 或者代入即可得到证明 .

证明 4

不难发现 DGF 的平移用来刻画点乘幂函数 Idc 是恰当的:

F(z+c)=k0fikz+c=k0fi/kckz

于是可以将原式翻译为 DGF:

Φ~(z+1)M~(z)=M~(z+1)

其中 Φ~(z)M~ 分别是欧拉函数和莫比乌斯函数的 DGF .

则直接根据 Φ~(z)M~(z) 的封闭形式展开可以显然得到 . 证毕 .

证明 5

Bell 级数对于点乘 Idc 也有很好的刻画,根据经典结论可以得到,相当于对 e(z)=zpc 复合,代入不难验证 .

这样写出 φId, μ, μId 的 Bell 级数后即可简单验证 . 具体过程略去 .

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