2023.6.22 闲话

话说天丿弱和脑浆炸裂ガール都神话了，怎么回事。

热搜：贵阳周边出现一血红色湖泊。
有点厉害。

推歌：

• 無意識レクイエム - あよ .
• 人間になりたい - いめ44 feat. 歌愛ユキ & 可不 .
• About the future - EAST feat. 初音ミク .

关于那个 \([z^n]w^k=\dfrac k{n+k}\dbinom{2n-k+1}{n}\) 的组合意义到底是啥啊，求教教 .

NaOH

NaOH：我大赦天下。

NaOH：你 tm 才打胶。

NaOH：感觉不如莱依拉。

NaOH：你不枬瞳吗。（NaOH 精心选的字：枬）

NaOH：我从不撸，因为我一看星尘就出来了。

给定互质整数 \(a,b\)，问有多少个正整数不能被 \(ax+by\) 表示，其中 \(x,y\ge 0\) .

根据赛瓦维斯特定理（小凯的疑惑）可以知道最大的不能被表出的数是 \(m=ab-a-b\) .

那么有引理：

Lemma

对于所有 \(1\le c\le\lfloor\frac m2\rfloor\)，\(c,n-c\) 中恰有一个能被表出 .

首先考虑是否能都有解，然而我们发现加起来之后 \(m\) 就有解了，矛盾 .

那么考虑是否能都无解 . 不妨令 \(c\) 无解，那么接下来只需要证明 \(n-c\) 有解. 考虑 \(ax+by=c\) 的 \((x,y)\)，要求满足 \(0\le x\le b-1,\,y\le -1\)，可以考虑 \(ax+by=m\) 的特解来得到这个界 .

这样可以得到 \(m-c=ab-a-b-ax-by=a(b-1-x)-b(1+y)\)，根据上述 \(x,y\) 的界可以知道此处 \(a,b\) 都是自然数，于是 \(m-c\) 可以被表示，证毕 .

那么不能被表示的数就是 \(\left\lceil\dfrac m2\right\rceil=\dfrac{(a-1)(b-1)}2\) .

题解那个也太难懂了答案是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{b-1}\left\lfloor\dfrac{ia}b\right\rfloor\)，根据具体数学结论：

\[\sum_{k=0}^m\left\lfloor\dfrac{nk+x}m\right\rfloor=d\left\lfloor\dfrac xd\right\rfloor + \dfrac{(m-1)(n-1)}2+\dfrac{d-1}2\qquad\text{where }d=\gcd(n,m) \]

化简即得和上面一样的式子 .

具体思路可能就是考虑 \(ax+by=c\) 其实就是 \(c-ax=by\)，那么只需要左边不是 \(b\) 的倍数就无解 . 于是令 \(c-ax\equiv r\pmod b\)，为了不重不漏计算，此时也要满足 \(r=\min\{(c-ax)\bmod b\}\)，于是只需要每个 \(r\) 考虑合法的 \(c\) 的数量……额后面不会了 .

meme