2023.6.9 闲话

Combinom

今日语录（好少）

K8He：它甚至贴贴我。（K8He 让我改成「它」的）

K8He：太菜了，只会卷紫题。

SoyTony：因为我卷。

SoyTony：实数是虚的。

K8He：不是你怎么还贺 D 题的题解啊。

推歌：抑圧錯乱ガール - otetsu feat. 镜音レン & GUMI（地狱型人间动物园确实挺好的）.

推歌：目が覚めた時 - Gasai_Tomoya / TAOTIE feat. 初音ミク（你说得对，但是）.

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二阶（后略）数列：

$$f_n=\begin{cases}n&n\le 1\\a\cdot f_{n-1}+b\cdot f_{n-2}&n>1\end{cases}$$

有卡西尼性质 (Cassini's identity)：

$$f_{n-1}f_{n+1}-f^2_n=(-1)^n\cdot b^{n-1}$$

证明 1

仿照普通 Fibonacci 数列的证法，写出一个矩阵形式的通项：

$$\begin{bmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\1&0\end{bmatrix}^{n-1}\cdot\begin{bmatrix}a&1\\1&0\end{bmatrix}$$

两边同时取行列式，可以得到：

$$f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2=(-b)^{n-1}\cdot(-1)=(-1)^n\cdot b^{n-1}$$

证毕 .

证明 2

根据一些计算（特征根），可以得出其通项：

$$f_n=\dfrac{(a+\phi)^n-(a-\phi)^n}{2^n\cdot \phi}\text{ where }\phi=\sqrt{a^2+4b}$$

于是，代入后有耐心地化简即可得到：

$$\scriptsize\begin{aligned}f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2&=\dfrac{((a+\phi)^{n-1}-(a-\phi)^{n-1})((a+\phi)^{n+1}-(a-\phi)^{n+1}))}{2^{2n}\cdot\phi^2}-\dfrac{((a+\phi)^n-(a-\phi)^n)^2}{2^{2n}\cdot\phi^2}\\&=\dfrac1{2^{2n}\cdot\phi^2}((a+\phi)^{2n}-(a+\phi)^{n-1}(a-\phi)^{n+1}-(a+\phi)^{n+1}(a-\phi)^{n-1}+(a-\phi)^{2n}-(a+\phi)^{2n}+2(a^2-\phi^2)^n\!-(a-\phi)^{2n})\\&=\dfrac1{2^{2n}\cdot\phi^2}(2(a+\phi)^n(a-\phi)^n-(a+\phi)^{n-1}(a-\phi)^{n+1}-(a+\phi)^{n+1}(a-\phi)^{n-1})\\&=\dfrac{(a+\phi)^{n-1}(a-\phi)^{n-1}}{2^{2n}\cdot\phi^2}(2(a-\phi)(a+\phi)-(a-\phi)^2-(a+\phi)^2)\\&=-\dfrac{(a^2-(a^2+4b))^{n-1}}{2^{2n-2}}\\&=(-1)^n\cdot b^{n-1}\end{aligned}$$

证明 3

找规律可得 .

证明 ?

ChatGPT 总说 LHS 可以写成 $\Im((a+b\mathrm i)^n)$ 的形式，我暂且蒙在鼓里 .

总结

怎么是只和 $b$ 相关，印象中那个附加性质也是这样，有点神奇啊？