2023.6.8 闲话

你说得对，但是水浒传确实挺像恋跳的，简直完全一致啊！

半在线 Dirichlet 卷积？半在线整除卷积 == 杜教筛？

推歌：罰ゲーム - くるりんご feat. 初音ミク & GUMI（比较古老）

推歌：666 - RoughSketch（比较原神）

今天语录

K8He：（这是您的照片）哪个，希特勒啊？

K8He：会不会审核也是原批。

K8He：希特勒批，绷不住。

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：啊啊，希特勒，好涩。\)

K8He：拜什么登，拜我。

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：你没蛋。\)

K8He：今天太颓了，一天只写了四个题。

K8He：我挺有德行的。

K8He：模糊匹配都不行，博客园太菜了。

SoyTony：那你确实吊打我。

K8He：1e6 n^2 怎么过不去。

K8He：我是玩原神玩的。

K8He：你笔去玩原神了。

K8He：有福音了！

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：本子！本子！本子！！\)

K8He：我理解不了 TA 这个水平。

K8He：那你断章取义你改成「有福瑞了」。

K8He：没有意义那我随便说你不用记了。

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：你别记这个啊woc。\)

K8He：红题都随手切啊！这么强。

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：怎么跟我一样贴贴啊。\)

K8He：你有原神吗？我比你更原神。

K8He：看着没，玩原神玩的，只知道打人。
\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：打打你的。\)

K8He：（看卷王监视器里自己过了一道题）卷。

K8He：Tarjan 在我上面。
K8He：对呀，确实在我上面。不管是物理层面还是精神层面。

K8He：现在的老年人都挺年轻的。
K8He：400 岁还不算年轻？

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：（选中 SoyTony，Jijidawang）sb。\)

K8He：今天 NOI 2022。

K8He：1e9 不得 O(1) 过吗？

K8He：你竟然看到 Keven_He 卷了绿题！！

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：这机房cp吗，傻逼\)

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：（看哔哩哔哩动画涨粉 22w）wc，变化率怎么这么低。\)

SoyTony：我毁掉了 ASMR。

SoyTony：你是牛子。

SoyTony：六字？DJQ DXM？TIE TIE？

SoyTony：康有为是谁？

K8He：（不中考不高考，保送了）假。欸，没假。

K8He：我自己造一块金牌。

K8He：不是，把手机放哪，把手机放哪？

\(\text{你说得对但是，内又有恶犬了。} % K8He：（看着一个扭曲的黑色物体）鸭脖好涩。\)

K8He：你说得对但是，我要做，我要做，我就要做！——黑题。

高考作文

一个人乐意去探索陌生世界，仅仅是因为好奇心吗？请写一篇文章，谈谈你对这个问题的认识和思考。

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SoyTony 太优异了，他用杜教筛 + 莫比乌斯反演 + 差分解决了一切问题。

无聊的水题 II

给正整数 \(n\)，问 \(1\dots n\) 的子集中有多少个 GCD 为 1 的 .

\(1\le n\le 10^{11}\) .

令 \(n\) 的答案是 \(f(n)\)，则单步容斥可以得到：

\[f(n)=2^n-1-\sum_{i=2}^nf\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

这是类似杜教筛的形式，直接记忆化跑就是 \(O(n^{3/4})\) .

不过不太能过，考虑小范围预处理，对于 GCD 可以考虑莫比乌斯反演，令 \(F(x)\) 是满足 \(\gcd=x\) 的方案数，\(G(x)\) 是 \(x\mid\gcd\) 的方案数，则：

\[\begin{aligned}&G(x)=\sum_{x\mid n}F(n)\\\Longrightarrow&F(x)=\sum_{x\mid n}G(n)\mu\left(\dfrac nx\right)\end{aligned} \]

那么不难发现的是 \(G(x)=2^{\lfloor\frac nx\rfloor}-1\)，于是：

\[f(n)=F(1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)(2^{\lfloor\frac ni\rfloor}-1) \]

于是只需要快速处理 \(n^{2/3}\) 内的 \(f(n)\)，首先把减一排掉（可以线性筛处理）就是：

\[h(n)=\sum_{i=1}^n2^{\lfloor\frac ni\rfloor}\mu(i) \]

对于整除问题不难想到考虑差分：

\[\begin{aligned}\Delta h(n)&=h(n)-h(n-1)\\&=2\mu(n)+\sum_{i=1}^{n-1}(2^{\lfloor\frac ni\rfloor}-2^{\lfloor\frac{n-1}i\rfloor})\mu(i)\\&=2\mu(n)+\dfrac12\sum_{i=1}^{n-1}[i\mid n]2^{\lfloor\frac ni\rfloor}\mu(i)\\&=\mu(n)+\dfrac12\sum_{d\mid n}2^{\frac nd}\mu(d)\end{aligned} \]

于是只需要处理每个差分即可递推得到所有 \(h\)，加号前面可以线性筛处理，加号后面 Dirichlet 前缀和即可 .

设预处理到 \(S\) 则根据分析可以知道复杂度是 \(O\left(S\log\log S+\dfrac n{\sqrt S}\right)\)，平衡太困难所以取 \(S=n^{2/3}\) 得 \(O(n^{2/3}\log\log n)\) 的时间复杂度，可以通过（应该吧）.

简单的最大公约数

给正整数 \(n,m\)，求：

\[\sum_{1\le i_1,i_2,\cdots,i_n\le m}\gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n) \]

\(1\le n\le 10^{11}\) .

首先枚举 GCD，后面计算 GCD 等于 \(k\) 的数量，之后整除分块即可 .

令 \(n\) 的答案是 \(f(n)\)，则单步容斥可以得到：

\[f(n)=m^n-\sum_{i=2}^mf\left(\left\lfloor\dfrac mi\right\rfloor\right) \]

这是类似杜教筛的形式，仍然是过不去考虑小范围预处理，那么仍然是考虑莫比乌斯反演，令 \(F(x)\) 是满足 \(\gcd=x\) 的方案数，\(G(x)\) 是 \(x\mid\gcd\) 的方案数，则根据类似的推导就可以知道：

\[F(m)=\sum_{i=1}^m\mu(i)\left\lfloor\dfrac mi\right\rfloor^n \]

仍然考虑差分：

\[\begin{aligned}\Delta f(m)&=\sum_{i=1}^m\mu(i)\left(\left\lfloor\dfrac mi\right\rfloor^n-\left\lfloor\dfrac{m-1}i\right\rfloor^n\right)\\&=\sum_{\substack{i\mid m\cr i\text{ is not square-free}}}\mu(i)\left(\left(\dfrac mi\right)^n-\left(\dfrac{m-1}i\right)^n\right)\end{aligned} \]

类似处理即可，时间复杂度 \(O\left(S\log\log S+\dfrac n{\sqrt S}\right)\)，取 \(S=n^{2/3}\) 得到 \(O(n^{2/3}\log\log n)\) 的上界 .

Submission . 用的调和级数复杂度算，根据论文 A. Granville and O. Ramaré, Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. Mathematika 43 (1996), no. 1, 73-107，有估计 \(n\) 以内的无平方因子数的倒数和不大于 \(\dfrac23(\ln n+3)\)，所以就有约 \(\dfrac13\) 的小常数，最后算出来大概就是 \(1.75\times 10^6\) 以下的暴力算最快 .

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这两道题目都是按以下流程「标准处理」：

1. 写出递推，从而做到 \(O(n^{3/4})\)（仿照杜教筛）.
2. 使用莫比乌斯反演导出答案的另一个式子，形如 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)g\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)\) .
3. 差分，以得到一个 \(O(n\log\log n)\) 或更优的简单算法，这种处理方法在 2022.12.11 闲话 曾提到过 .
4. 综合起来，得到一个 \(O(n^{2/3}\log\log n)\) 的算法 .

不过这两题的递推组合意义差别较大，暂且无法找到能使用这种「标准处理」解决的其他题目 QAQ .

SoyTony：这不是妙手偶得吗 .

stO SoyTony 筛 Orz

然而这两道题目都有（比这个做法）相对 trivial 的 \(O(n^{2/3})\) 做法，甚至更优！怎么会事呢？