2023.6.7 闲话

你说得对，但是《高考》是由……。

一个高手题：等腰直角三角形，长得很像 PinkRabbit「构建递推关系」但是不能沿用做法，非常高手 .

今天的语录：

截止至 16:10

K8He 看 lyin 码：看，文不加点，所以我们就不应该这么写（指 define 文件 IO 宏）

K8He：高射！

K8He：是我传奇太大了。

K8He：（看 APJ 的 1763 等级分）这么低，都不打比赛的吗？

K8He：氦化钾玩原神吗？

\(\text{内有恶犬，勿入 (I)}% K8He：shaber，ntm 氢化钾啊，居然敢侮辱我。\)

K8He：你把我这个出气声音给记下来试试。

K8He：我让你把圣印给我你生下来。

\(\text{内有恶犬，勿入 (II)}% K8He：我没让你记这句话啊！tmd 没有拟声词！\)

K8He：菜，菜菜菜菜菜菜菜

K8He：我的代码和周克的代码贴贴，我觉得这很刺激。

SoyTony：我碾压 joke。

K8He：碾压 zky，毒瘤之神的考验。

K8He：对，STA_Morlin 是我的狗。

SoyTony：OI Wiki 是民科。

K8He：今天还没过完呢，你着急放什么语录。

你说得对，推歌：ラグナロク恋歌 / USAO feat. An .

USAO 怎么你了😅

---

看 joke3579 《一些特殊的数论函数求和问题》阅读随笔 的 Trick，简单概括一下。

下面 \(\renewcommand{\P}{\mathbb P}\P\) 是素数集 .

素数位求和积分渐进方法：

比如要求：

\[F(n)=\sum_{p\in\P\mathbb\cap[n,+\infty)}\dfrac1{p^2} \]

那么可以操作：

\[\begin{aligned}F(n)&=\int_{n}^{\infty}\dfrac1{x^2}\mathrm d\pi(x)\\&=-\dfrac1{n\ln n}-\int_{n}^{\infty}\pi(x)\mathrm d\left(\dfrac1{x^2}\right)\\&=\Theta\left(-\dfrac1{n\ln n}+2\int_{n}^{\infty}\dfrac{1}{x^2\ln x}\mathrm dx\right)\\&=\Theta\left(-\dfrac1{n\ln n}-\operatorname{Ei}(-\ln n)\right)\\&=\Theta\left(\dfrac1{n\ln n}\right)\end{aligned} \]

最后一步大概就是把 \(\rm Ei\) 改成 \(\rm li\) 之后用渐进 \(\operatorname{li}(n)\sim\dfrac n{\ln n}\) .

其实就是改成对 \(\pi(x)\) 积分之后使用分部积分法 .

再整一个例子：

\[F(n)=\sum_{p\in\P\cap[1,n]}p^{\varepsilon} \]

其中 \(\varepsilon\) 是常数 .

操作方法类似，不过积分难度不是那么高：

\[\begin{aligned}F(n)&=O\left(\int_1^np^{\varepsilon}\mathrm d\pi(p)\right)\\&=O\left(\pi(n)\cdot n^{\varepsilon}-\int_1^n\pi(p)\mathrm dp^{\varepsilon}\right)\\&=O\left(\dfrac{n^{\varepsilon+1}}{\ln n}-\varepsilon\int_1^n\dfrac{p^{\varepsilon}}{\ln p}\mathrm dp\right)\\&=O\left(\dfrac{n^{\varepsilon+1}}{\ln n}\right)\end{aligned} \]

那么基本可以发现，解决问题的基本步骤如下：

1. 写成对 \(\pi(x)\) 的积分 .
2. 应用分部积分法 \(u\mathrm dv=uv-v\mathrm du\) .
3. 应用 \(\mathrm df=f'\mathrm dx\) 等来化简乃至求解积分 .
4. 给出合适的渐进表达 .

---

悬赏 0 原石，解此题：

对于一张无向图 \(G\)，定义一个边 序列 \(\{e_m\}\) 是完美的消除序列当且仅当：

• \(\{e\}\) 中涵盖了 \(G\) 的每条边恰一次 .
• 对于 \(1<i\le m\)，有 \(e_i\) 的起点不与 \(e_{i-1}\) 的任一端点相同 .

现在给定一张无向图，计数其完美消除序列的个数，对 \(998244353\) 取模 .

因为这个问题太困难，所以如果会链或者树啥的做法也可以分享一下 QwQ .