2023.6.7 闲话

你说得对，但是《高考》是由……。

一个高手题：等腰直角三角形，长得很像 PinkRabbit「构建递推关系」但是不能沿用做法，非常高手 .

今天的语录：

截止至 16:10

K8He 看 lyin 码：看，文不加点，所以我们就不应该这么写（指 define 文件 IO 宏）

K8He：高射！

K8He：是我传奇太大了。

K8He：（看 APJ 的 1763 等级分）这么低，都不打比赛的吗？

K8He：氦化钾玩原神吗？

$\text{内有恶犬，勿入 (I)}% K8He：shaber，ntm 氢化钾啊，居然敢侮辱我。$

K8He：你把我这个出气声音给记下来试试。

K8He：我让你把圣印给我你生下来。

$\text{内有恶犬，勿入 (II)}% K8He：我没让你记这句话啊！tmd 没有拟声词！$

K8He：菜，菜菜菜菜菜菜菜

K8He：我的代码和周克的代码贴贴，我觉得这很刺激。

SoyTony：我碾压 joke。

K8He：碾压 zky，毒瘤之神的考验。

K8He：对，STA_Morlin 是我的狗。

SoyTony：OI Wiki 是民科。

K8He：今天还没过完呢，你着急放什么语录。

你说得对，推歌：ラグナロク恋歌 / USAO feat. An .

USAO 怎么你了😅

看 joke3579 《一些特殊的数论函数求和问题》阅读随笔的 Trick，简单概括一下。

下面 $\renewcommand{\P}{\mathbb P}\P$ 是素数集 .

素数位求和积分渐进方法：

比如要求：

F (n) = \sum_{p \in P \cap [n, + \infty)} \frac{1}{p^{2}}

$F(n)=\sum_{p\in\P\mathbb\cap[n,+\infty)}\dfrac1{p^2}$

那么可以操作：

\begin{aligned} F (n) & = \int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d π (x) \\ = - \frac{1}{n \ln n} - \int_{n}^{\infty} π (x) d (\frac{1}{x^{2}}) \\ = Θ (- \frac{1}{n \ln n} + 2 \int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^{2} \ln x} d x) \\ = Θ (- \frac{1}{n \ln n} - Ei (- \ln n)) \\ = Θ (\frac{1}{n \ln n}) \end{aligned}

$\begin{aligned}F(n)&=\int_{n}^{\infty}\dfrac1{x^2}\mathrm d\pi(x)\\&=-\dfrac1{n\ln n}-\int_{n}^{\infty}\pi(x)\mathrm d\left(\dfrac1{x^2}\right)\\&=\Theta\left(-\dfrac1{n\ln n}+2\int_{n}^{\infty}\dfrac{1}{x^2\ln x}\mathrm dx\right)\\&=\Theta\left(-\dfrac1{n\ln n}-\operatorname{Ei}(-\ln n)\right)\\&=\Theta\left(\dfrac1{n\ln n}\right)\end{aligned}$

最后一步大概就是把 $\rm Ei$ 改成 $\rm li$ 之后用渐进 $\operatorname{li}(n)\sim\dfrac n{\ln n}$ .

其实就是改成对 $\pi(x)$ 积分之后使用分部积分法 .

再整一个例子：

F (n) = \sum_{p \in P \cap [1, n]} p^{ε}

$F(n)=\sum_{p\in\P\cap[1,n]}p^{\varepsilon}$

其中 $\varepsilon$ 是常数 .

操作方法类似，不过积分难度不是那么高：

\begin{aligned} F (n) & = O (\int_{1}^{n} p^{ε} d π (p)) \\ = O (π (n) \cdot n^{ε} - \int_{1}^{n} π (p) d p^{ε}) \\ = O (\frac{n^{ε + 1}}{\ln n} - ε \int_{1}^{n} \frac{p^{ε}}{\ln p} d p) \\ = O (\frac{n^{ε + 1}}{\ln n}) \end{aligned}

$\begin{aligned}F(n)&=O\left(\int_1^np^{\varepsilon}\mathrm d\pi(p)\right)\\&=O\left(\pi(n)\cdot n^{\varepsilon}-\int_1^n\pi(p)\mathrm dp^{\varepsilon}\right)\\&=O\left(\dfrac{n^{\varepsilon+1}}{\ln n}-\varepsilon\int_1^n\dfrac{p^{\varepsilon}}{\ln p}\mathrm dp\right)\\&=O\left(\dfrac{n^{\varepsilon+1}}{\ln n}\right)\end{aligned}$

那么基本可以发现，解决问题的基本步骤如下：

写成对 $\pi(x)$ 的积分 .
应用分部积分法 $u\mathrm dv=uv-v\mathrm du$ .
应用 $\mathrm df=f'\mathrm dx$ 等来化简乃至求解积分 .
给出合适的渐进表达 .

悬赏 0 原石，解此题：

对于一张无向图 $G$ ，定义一个边序列 $\{e_m\}$ 是完美的消除序列当且仅当：

$\{e\}$ 中涵盖了 $G$ 的每条边恰一次 .

对于 $1<i\le m$ ，有 $e_i$ 的起点不与 $e_{i-1}$ 的任一端点相同 .

现在给定一张无向图，计数其完美消除序列的个数，对 $998244353$ 取模 .